[論文レビュー] On complexity of the quantum Ising model

Sergey Bravyi, Matthew B. Hastings|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2014

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 24被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、次数3のグラフ上の横磁場イジング模型（TIM）の基底状態エネルギーの推定が、複雑性クラスStoqMAに完全であることを確立し、TIMが2局所ストーキュラスハミルトニアンの全計算困難性を捉えていることを示している。さらに、TIMを用いた量子アニーリングが、対角項および2局所ストーキュラス項を含むk局所ストーキュラスハミルトニアンの広い部分集合に対する量子アニーリングと多項式的に同等であることを示している。

ABSTRACT

We study complexity of several problems related to the Transverse field Ising Model (TIM). First, we consider the problem of estimating the ground state energy known as the Local Hamiltonian Problem (LHP). It is shown that the LHP for TIM on degree-3 graphs is equivalent modulo polynomial reductions to the LHP for general k-local `stoquastic' Hamiltonians with any constant $k\ge 2$. This result implies that estimating the ground state energy of TIM on degree-3 graphs is a complete problem for the complexity class StoqMA - an extension of the classical class MA. As a corollary, we complete the complexity classification of 2-local Hamiltonians with a fixed set of interactions proposed recently by Cubitt and Montanaro. Secondly, we study quantum annealing algorithms for finding ground states of classical spin Hamiltonians associated with hard optimization problems. We prove that the quantum annealing with TIM Hamiltonians is equivalent modulo polynomial reductions to the quantum annealing with a certain subclass of k-local stoquastic Hamiltonians. This subclass includes all Hamiltonians representable as a sum of a k-local diagonal Hamiltonian and a 2-local stoquastic Hamiltonian.

研究の動機と目的

• 次数3のグラフ上の横磁場イジング模型（TIM）の基底状態エネルギー推定の計算複雑性を完全に特徴づけること。
• CubittとMontanaroが提唱した固定された相互作用集合を有する2局所ハミルトニアンの複雑性分類を解明すること。
• TIMハミルトニアンを用いた量子アニーリングと、k局所ストーキュラスハミルトニアンの広い部分集合を用いた量子アニーリングとの等価性を確立すること。
• 次数3のグラフ上のTIMが、多項式的還元を用いて任意の2局所ストーキュラスハミルトニアンをシミュレートできることを示し、StoqMAにおける完全性を確立すること。

提案手法

• 任意の2局所ストーキュラスハミルトニアンを、次数3のグラフ上のTIMの有効低エネルギーハミルトニアンへ多項式的還元する。
• 摂動的ガジェットとSchrieffer-Wolff変換を用いて、目的ハミルトニアンの相互作用をTIMハミルトニアンの有効相互作用へ写像する。
• ハードコアボソンおよびドミアン写像を用いて、TIMにおける高範囲相互作用を局所的変換によりシミュレートする。
• Jordan-Wigner変換とアディアバティック状態準備を用いて、TIMフレームワーク内での論理キュービットおよび基底状態をシミュレートする。
• 輪郭積分と複素解析を用いて、スピン鎖におけるエネルギー分裂と行列要素を評価し、スペクトルギャップが多項式的に有界のまま保たれることを保証する。
• TIMの基底状態がアディアバティックな遷移を用いて多項式時間内に準備可能であることを示し、量子アニーリングのための効率的初期化を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次数3のグラフ上のTIMの局所的ハミルトニアン問題（LHP）は、複雑性クラスStoqMAに完全か？
• RQ2 任意の2局所ストーキュラスハミルトニアンは、次数3のグラフ上のTIMハミルトニアンを用いた多項式的還元により効率的にシミュレート可能か？
• RQ3 TIMハミルトニアンを用いた量子アニーリングは、k局所ストーキュラスハミルトニアンの広いクラスを用いた量子アニーリングと多項式的に同等か？
• RQ4 フェロ磁性または横磁場を有するTIMの基底状態エネルギー推定の計算複雑性は何か？
• RQ5 一般の2局所ストーキュラスハミルトニアンの基底状態は、TIMに基づく構成を用いたアディアバティックな遷移により準備可能か？

主な発見

• 次数3のグラフ上のTIMの局所的ハミルトニアン問題は、複雑性クラスStoqMAに完全であり、このクラス内での最大の計算困難性を確立している。
• 任意の2局所ストーキュラスハミルトニアンは、系のサイズおよび相互作用強度の多項式的オーバーヘッドを伴い、次数3のグラフ上のTIMハミルトニアンでシミュレート可能である。
• 次数3のグラフ上のTIMの基底状態エネルギーは、加法的誤差εに対して時間poly(n, ε⁻¹)で推定可能であり、一般の2局所ストーキュラスハミルトニアンと同等の複雑性を有する。
• TIMハミルトニアンを用いた量子アニーリングは、k局所対角項と2局所ストーキュラス項の和である任意のk局所ストーキュラスハミルトニアンを用いた量子アニーリングと多項式的に同等である。
• 構成に用いられるTIM鎖のスペクトルギャップはΩ(m⁻¹)のスケーリングを示し、アディアバティック状態準備が多項式時間内で実行可能であることを保証する。
• スピン鎖におけるエネルギー分裂と行列要素の境界は、輪郭積分により証明され、δ ≥ Ω(m⁻ᶜ⁻³/²)（あるc > 0）が得られ、低エネルギー極限における非 degenerate 基底状態の存在を確認する。