[論文レビュー] On fractional p-Laplacian problems with weight

Raquel Lehrer, Liliane A. Maia+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 22, 2014

Nonlinear Partial Differential EquationsMathematics被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、非コンpact性が生じる条件のもとで、$\mathbb{R}^N$ 上の重み関数 $\varphi(x)$ を持つ分数階 $p$-ラプラシアン方程式に対する非負の分布的解の存在を確立する。変分法および濃縮・コンパクトネスの議論を用いて、成長および凸性条件を満たす臨界より小さい非線形項 $f(u)$ に対して、$\varphi$ が符号を変える場合でも、有界な集合上で正で、それ以外では非正であれば、解の存在を示す。

ABSTRACT

We investigate the existence of nonnegative solutions for a nonlinear problem involving the fractional p-Laplacian operator. The problem is set on a unbounded domain, and compactness issues have to be handled.

研究の動機と目的

• 非有界領域における分数階 $p$-ラプラシアン問題の非負解の存在を、非有界領域および重み関数によってコンパクト性が失われる場合に取り上げること。
• 重み $\varphi(x)$ が有界な集合上で正で、それ以外では非正となるような条件を満たす場合に、コンパクト性の喪失を克服しつつ解の存在を確立すること。
• 臨界または臨界より小さい非線形項 $f(u)$ を持つ非局所的・非線形の分数階 $p$-ラプラシアン作用素への解の存在理論を拡張すること、特に $f(u) = u^q$ を含むこと。
• 厳密に正でない重み関数を有する問題に対して、濃縮・コンパクトネスのアプローチを用いて、変分的枠組みを明確にすること。

提案手法

• 問題を $D^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ 内の分布的弱解として定式化し、テスト関数を $C_c^\infty(\mathbb{R}^N)$ に制限する。
• 拡大する球 $B(0,R_n)$ 上での近似問題の列を用い、$u_n$ が $B(0,R_n)$ 内で定義され、外部では消えるようにする。
• マウンテン・パス定理および有界なパライス・スモール・シーケンスを用いて、$D^{s,p}(\mathbb{R}^N)$ 内の弱極限 $u$ を構成する。
• 有界な $K$ および $r < p^*_s$ に対して、埋め込み $L^{p^*_s}(K) \hookrightarrow L^r(K)$ のコンパクト性を用い、$u_n \to u$ のほとんど everywhere 収束に移行する。
• 双対ペアリングおよびドミネーテッド収束定理を用い、弱形式における極限に移行し、$\varphi(x)f(u_n)\psi$ を含む右辺の収束を保証する。
• 条件 $(f_3)$ を用いて、差 $f(s)s - pF(s)$ を $Cs^m$（$m < p$）で制御し、一様可積分性およびコンパクトネスを実現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み $\varphi(x)$ および非線形項 $f(u)$ に対してどのような条件下で、$\mathbb{R}^N$ 上の分数階 $p$-ラプラシアン問題に対して非負解が存在するか？
• RQ2 領域が非有界で $\varphi$ が符号を変える場合、分数階 $p$-ラプラシアン設定においてコンパクト性の喪失をどのように克服できるか？
• RQ3 非線形項 $f(u)$ が臨界より小さく、かつ超線形的でない場合（特に $q < p-1$ の場合）、非自明な解の存在を保証できるか？
• RQ4 重み関数が有界な集合上で正で、それ以外では非正である場合、分数階 $p$-ラプラシアンの解の存在結果を拡張することは可能か？

主な発見

• 問題は、$u \geq 0$ かつ $\|u\|_{D^{s,p}} < \infty$ を満たす非自明な非負の分布的解 $u \in L^{Np/(N-sp)}(\mathbb{R}^N) \setminus \{0\}$ を持つ。
• 解は弱形式を満たす：すべての $\psi \in C_c^\infty(\mathbb{R}^N)$ に対して、$\int_{\mathbb{R}^{2N}} \frac{|u(x)-u(y)|^{p-2}(u(x)-u(y)) (\psi(x)-\psi(y))}{|x-y|^{N+sp}} \, dx\,dy = \int_{\mathbb{R}^N} \varphi(x)f(u)\psi \, dx$。
• マウンテン・パスレベルの極限 $c_n \to c > 0$ の正の性質により、$u \equiv 0$ であると矛盾するため、解は非自明（$u \not\equiv 0$）である。
• 重み条件 $(W)$：$\sup_{\mathbb{R}^N \setminus \Omega} \varphi \leq 0 < \inf_\omega \varphi$（$\omega \subset \Omega$ は有界）のもとで結果が成り立つ。
• 線形の場合 $p=2$ に対しても本結果は新規であり、$D^{s,2}(\mathbb{R}^N)$ 内で $1 < q < 2^*_s - 1$ の非負解の存在を確立する。
• 非線形項 $f$ が $f(s) \sim s^q$ を満たし、$p-1 < q < p^*_s - 1$ または $0 \leq q < p-1$ である場合、適切な成長および凸性条件のもとで本手法は適用可能である。