[論文レビュー] On Generalized Uncertainty Principle

Bhupendra Nath Tiwari|arXiv (Cornell University)|Jan 22, 2008

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 66被引用数 14

ひとこと要約

本稿は、複素関数論に基づいて導かれた一般化不確定性原理（GUP）を提案する。UV/IR混合に依存する関数 $ ilde{δ}(Δ x,Δ k,5c)$ を用いて、量子重力理論と弦理論を統一する。正則性条件から弦的不確定性関係を導出し、最小長スケールを生じさせるとともに、理論の構造に関する事前の仮定なしにブラックホール表面積の量子化とレッジ軌道を自然に再現する。

ABSTRACT

We study generalized uncertainty principle through the basic concepts of limit and Fourier transformation and analyze both the quantum theory of gravity and string theory from the perspective of complex function theory. Motivated from the noncommutative nature of string theory, we have proposed a UV/IR mixing dependent function $ ildeδ(Δx,Δk, ε) $. For a given $ ildeδ(Δx,Δk, ε) $, we arrived at the string uncertainty principle from the analyticity condition of a complex function, which depends upon UV cut-off of the theory. This non trivially modifies the quantum measurements, black hole physics and short distance geometries. The present analysis is based on the postulate that the Planck scale is the minimal length scale in nature. Furthermore, our consideration is in perfect agreement with the existence of the maximum length scale in nature. Both of the above length scales rely only upon the analysis of $ ildeδ(Δx,Δk, ε) $ and do not directly make use of any specific structure of the theory or Hamiltonian. The Regge behavior of the string spectrum and the quantization of the horizon area of a black hole are natural consequences of the function $ ildeδ(Δx,Δk, ε) $. It is hereby anticipated that $ ildeδ(Δx,Δk, ε) $ contains all possible corrections operating in nature, and thus a promising possibility to reveal important clues towards the geometric origin of $M$-theory.

研究の動機と目的

• 複素関数論を用いて、量子重力理論と弦理論の統一的枠組みを導出すること。
• $\tilde{\delta}(\Delta x,\Delta k,\epsilon)$ の正則構造を通じて、自然界における最小および最大長スケールを同定すること。
• ブラックホール表面積の量子化やレッジ挙動といった、主要な量子重力的現象が $\tilde{\delta}$ 関数から自然に生じることを示すこと。
• 正則および反正則性の性質を用いて、UV/IR混合と弦的補正を組み込んだ一般化不確定性原理を確立すること。
• $\tilde{\delta}$ の完全なテイラー展開およびローレンツ展開を通じて、M理論補正の幾何的起源を提供すること。

提案手法

• $\tilde{\delta}(\Delta x,\Delta k,\epsilon)$ の正則性から一般化不確定性原理を導出し、量子重力におけるUV/IR混合をモデル化する。
• $\tilde{\delta}$ の一次テイラー展開を用いて、弦的不確定性関係 $\Delta x^{\mu} \geq \frac{\hbar}{\Delta p^{\mu}} + \frac{l_s^2}{\hbar}\Delta p^{\mu}$ を回復する。
• 複素解析を用いて、$\tilde{\delta}$ をローレンツ展開により、摂動的（$z^n$, $n \in \mathbb{Z}^+$）および非摂動的（$z^{-n}$, $n \in \mathbb{Z}^-$）成分に分解する。
• 因子分解極限における固有値の差を用いて、位置演算子の離散固有値が最小長スケールに関連づけられることを示す。
• $\tilde{\delta}$ を用いて、ハミルトニアンや理論の具体的な形式を仮定せずに、量子幾何、ブラックホール物理学、短距離時空構造を導出する。
• 最小および最大長スケールが、$\tilde{\delta}$ の構造にのみ依存し、基礎理論の詳細とは独立に生じることを確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 単一の関数の正則構造から、量子重力理論と弦理論の統一的記述をどのように導出できるか。
• RQ2 関数 $\tilde{\delta}(\Delta x,\Delta k,\epsilon)$ は、最小長スケールとUV/IR混合を生成する上で果たす役割は何か。
• RQ3 ブラックホール表面積の量子化とレッジ軌道が、複素関数論に基づく一般化不確定性原理から自然に生じるか。
• RQ4 ローレンツ展開における $\tilde{\delta}$ の摂動的および非摂動的項は、どのように量子重力補正を符号化するか。
• RQ5 $\tilde{\delta}$ から導かれた一般化不確定性原理は、M理論の幾何的起源を提供するか。

主な発見

• 一般化不確定性原理は $\tilde{\delta}(\Delta x,\Delta k,\epsilon)$ の正則性から導出され、一次近似により弦的不確定性関係 $\Delta x^{\mu} \geq \frac{\hbar}{\Delta p^{\mu}} + \frac{l_s^2}{\hbar}\Delta p^{\mu}$ が得られる。
• 最小長スケールは、位置演算子の固有値間隔の離散性に由来し、$\tilde{\delta}$ に符号化されている。
• 最大長スケールの存在は、同じ関数 $\tilde{\delta}$ によって自然に示唆され、特定の理論やハミルトニアンとは独立に成立する。
• 弦スペクトルのレッジ挙動およびブラックホール表面積の量子化は、$\tilde{\delta}$ の構造の直接的結果である。
• $\tilde{\delta}$ には、すべての可能な量子重力補正が含まれており、そのローレンツ展開における正のべき（$z^n$, $n \in \mathbb{Z}^+$）と負のべき（$z^{-n}$, $n \in \mathbb{Z}^-$）がそれぞれ摂動的および非摂動的補正を表す。
• この枠組みは、短距離幾何、量子重力、弦理論を統合し、$\tilde{\delta}$ の完全な正則構造を通じてM理論の幾何的起源を示唆する。