[論文レビュー] On genus one fibered Calabi-Yau threefolds with 5-sections

Johanna Knapp, Emanuel Scheidegger+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2021

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 126被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、グラスマンニアン層の完全交差およびパフリアン多様体を用いた完全交差により、5節を持つ genus one フibrated Calabi-Yau 3-fold を構成し、双対な幾何におけるホモロジカルプロジェクト型双対性を確立する。トポロジカル弦理論におけるモジュラー・ブートストラップを用いて、全 genus の Gopakumar-Vafa 不変量を計算し、双対な分配関数が Γ₀(5) モジュラー対称性の下で変換することを示す。F-theory においては、電荷 5 のハイパーマトリックスを実現し、双対な幾何が同一の Tate-Shafarevich 群に属すると予想する。

ABSTRACT

Elliptic and genus one fibered Calabi-Yau spaces play a prominent role in string theory and mathematics. In this article we discuss a class of genus one fibered Calabi-Yau threefolds with 5-sections from various perspectives. In algebraic geometry, such Calabi-Yaus can be constructed as complete intersections in Grassmannian fibrations and as Pfaffian varieties. These constructions naturally fit into the framework of homological projective duality and lead to dual pairs of Calabi-Yaus. From a physics perspective, these spaces can be realised as low-energy configurations ("phases") of gauged linear sigma models (GLSMs) with non-Abelian gauge groups, where the dual geometries arise as phases of the same GLSM. Using the modular bootstrap approach of topological string theory, one can compute all-genus Gopakumar-Vafa invariants of these Calabi-Yaus. We observe that homological projective duality acts as an element of $Γ_0(5)$ on the topological string partition function and the partition functions of dual geometries transform into each other. Moreover, we study the geometries from an M-/F-theory perspective. We compute the F-theory spectrum and show how the genus one-fibered Calabi-Yaus are connected to certain Calabi-Yaus in toric varieties via a series of Higgs transitions. Based on the F-theory physics, we conjecture that dual geometries are elements of the same Tate-Shafarevich group. Our analysis also leads to a classification of 5-section geometries, as well as the construction of F-theory models with charge 5 hypermultiplets.

研究の動機と目的

• toral 幾何学の範囲外で、5節を持つ genus one フibrated Calabi-Yau 3-fold を構成すること。
• グラスマンニアンおよびパフリアン構成から生じる Calabi-Yau 幾何の間で、ホモロジカルプロジェクト型双対性を用いた双対性フレームワークを確立すること。
• トポロジカル弦理論におけるモジュラー・ブートストラップを用いて、全 genus の Gopakumar-Vafa 不変量を計算すること。
• F-theory モデルにおいて電荷 5 のハイパーマトリックスを実現し、それらの物理的および幾何的意味を調査すること。
• F-theory の異常キャンセレーションおよびヒッグス遷移に基づき、双対な幾何が同一の Tate-Shafarevich 群に属すると予想すること。

提案手法

• 基底多様体上のグラスマンニアン層の完全交差として Calabi-Yau 3-fold を構成し、同型ベクトルバンドルおよびシュール関手を用いる。
• 滑らかなトーリック多様体におけるパフリアン構成を用いて双対幾何を実現し、行列式多様体の構造を活用する。
• ホモロジカルプロジェクト型双対性を適用して、双対 Calabi-Yau 群の導来カテゴリを関連付け、Γ₀(5) モジュラー対称性の下で同値であることを示す。
• モジュラー・ブートストラップ法を用いて、ピカール＝フーチュス作用素およびレベル 5 のモジュラー形式から Gopakumar-Vafa 不変量を計算する。
• これらの幾何における F-theory の compactification を分析し、U(1) ゲージ群およびハイパーマトリックスの電荷を含むスペクトルを計算する。
• codimension 3 および 5 の完全交差ファイバーを用いたヒッグス遷移を実行し、既知のトーリック Calabi-Yau 幾何に接続し、異常キャンセレーションを研究する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 toral 方法を超えて、代数幾何学的に 5 節を持つ genus one フibrated Calabi-Yau 3-fold を体系的にどのように構成できるか。
• RQ2 ホモロジカルプロジェクト型双対性は、5 節を持つ Calabi-Yau 幾何をどのように関連付けるか。また、トポロジカル弦理論の分配関数にどのように現れるか。
• RQ3 双対な幾何の Gopakumar-Vafa 不変量は、どのモジュラー群の下で変換するか。この変換を支配する群は何か。
• RQ4 F-theory の compactification において、電荷 5 のハイパーマトリックスを実現できるか。このような物質の物理的解釈は何か。
• RQ5 ヒッグス遷移によって双対な幾何は接続可能か。F-theory の compactification の文脈において、それらは同一の Tate-Shafarevich 群に属するか。

主な発見

• 著者らは、グラスマンニアン層の完全交差およびパフリアン多様体を用いて、toral 幾何学の外で初めて 5 節を持つ Calabi-Yau 3-fold を構成した。
• ホモロジカルプロジェクト型双対性により、双対 Calabi-Yau 幾何が関連付けられ、そのトポロジカル弦理論の分配関数はモジュラー群 Γ₀(5) の下で変換する。
• モジュラー・ブートストラップを用いて、双対ペア X₁ および Y₁ の全 genus の Gopakumar-Vafa 不変量を計算し、その分配関数がレベル 5 のモジュラー形式であることを示した。
• 双対な分配関数は、E₁,₁ → −E₁,₂、E₁,₂ → E₁,₁ の変換の下で変換則を満たし、Γ₀(5) に同型な双対性作用が確認された。
• これらの幾何から生じる E-strings の楕円的生成関数は、弱いジャコビ形式およびモジュラー関数で表され、5 種類の非同値な配置が特定された。
• 本稿は、U(1)² および U(1) ゲージ群を持つ codimension 3 および 5 のファイバーを介したヒッグス遷移により、電荷 5 のハイパーマトリックスを実現した F-theory モデルを初めて構成した。