[論文レビュー] On lax transformations, adjunctions, and monads in $(\infty,2)$-categories

Rune Haugseng|arXiv (Cornell University)|Feb 3, 2020

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 26被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$(\infty,2)$-圏におけるモノイドの3つの視点——自己関手圏における結合的代数、モノイド的右随伴、普遍モノイド2-圏からの関手——の同値性を確立する。グレイテンソル積と単体的$\infty$-圏を用いて、成分が同値であるラクス変換を「アイコン」として同定する——これはラックの『アイコン』の$(\infty,2)$-圏的類似物である——これにより、3つの枠組みすべてにおいてモノイドの準同型を完全に比較可能にする。

ABSTRACT

We use the basic expected properties of the Gray tensor product of $(\infty,2)$-categories to study (co)lax natural transformations. Using results of Riehl-Verity and Zaganidis we identify lax transformations between adjunctions and monads with commutative squares of (monadic) right adjoints. We also identify the colax transformations whose components are equivalences (generalizing the "icons" of Lack) with the 2-morphisms that arise from viewing $(\infty,2)$-categories as simplicial $\infty$-categories. Using this characterization we identify the $\infty$-category of monads on a fixed object and colax morphisms between them with the $\infty$-category of associative algebras in endomorphisms.

研究の動機と目的

• $(\infty,2)$-圏におけるモノイド定義の既知の同値性を、モノイド間の準同型を含む形に拡張すること。
• ラクス変換を、モノイド的右随伴の可換四角形を通じて、随伴とモノイドの間の関係として特徴付けること。
• 成分が同値であるコラクス変換を、$(\infty,2)$-圏的類似物としてラックの『アイコン』に相当するものとして同定すること。
• コラクス準同型を備えたモノイドの$\infty$-圏が、自己準同型の$\infty$-圏における結合的代数の$\infty$-圏と同値であることを示すこと。
• モノイドの3つの視点を統一すること：自己関手圏における代数、モノイド的右随伴、普遍モノイド2-圏からの関手。

提案手法

• ラクスおよびコラクス関手を定義するために、$(\infty,2)$-圏的グレイテンソル積の基本的性質（仮定3.5）を仮定する。
• リーエル・ヴェリティおよびザガニディスの$(\infty,2)$-圏に関する研究を用いて、随伴およびモノイドのラクス準同型をモノイド的右随伴の可換四角形に結びつける。
• 成分が同値であるコラクス変換が、$\Delta^{\mathrm{op}}$上のコカートェシアンファイブレーションを通じて単体的$\infty$-圏から生じることを特徴付ける。
• 非可換$\infty$-オペラッド理論を用いて、モノイドと自己準同型$\infty$-圏における結合的代数との関係を確立する。
• 成分が同値であるコラクス変換の広い部分圏に同型を与える関手$\mathrm{Nat}(X,Y) \to \mathrm{Fun}^{\mathrm{colax}}(X,Y)$を構成する。
• コカートェシアンファイブレーションの引き戻しを用いて、自己準同型$\infty$-圏におけるモノイド構造を定義し、それらを代数的構造に関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $(\infty,2)$-圏において、随伴とモノイドの間のラクス変換は、モノイド的右随伴の可換四角形とどのように関係するか？
• RQ2 成分が同値であるコラクス変換は、$(\infty,2)$-圏的類似物として、ラックの『アイコン』に相当するものか？
• RQ3 モノイドの3つの定義（自己関手圏における代数、モノイド的右随伴、普遍モノイド2-圏からの関手）に準同型を含めた場合、それらはどのように比較できるか？
• RQ4 コラクス準同型を備えたモノイドの$\infty$-圏と、自己準同型の$\infty$-圏における結合的代数の$\infty$-圏との関係は何か？
• RQ5 単体的$\infty$-圏およびコカートェシアンファイブレーションの構造を用いて、モノイド定義の同値性を準同型を含む形に拡張できるか？

主な発見

• 固定された対象$X$におけるコラクス準同型を備えたモノイドの$\infty$-圏は、モノイド$\infty$-圏$\mathrm{End}(X)$における結合的代数の$\infty$-圏と同値であり、忘却関手は対応する基本対象に一致する。
• モノイド間のラクス変換の$\infty$-圏は、右随伴への制限を通じて$\mathrm{CAT}_\infty$におけるモノイド的右随伴の$\infty$-圏と同値である。
• 成分が同値であるコラクス変換は、$(\infty,2)$-圏を単体的$\infty$-圏として見ることで生じるものであり、これはラックの『アイコン』の$(\infty,2)$-圏的類似物を提供する。
• $\mathrm{MND}(\mathrm{CAT}_\infty)^{\mathrm{colax}}$の$C$における纤维は、$C$の自己関手における結合的代数の$\infty$-圏$\mathrm{Alg}(\mathrm{End}(C))$と同値である。
• リーエル・ヴェリティの構成によって得られるモノイド$T$に付随するモノイド的右随伴は、左$T$-加群の$\infty$-圏と同値であり、ルリーのモノイド性定理と整合的であることが確認される。
• $\mathrm{End}(X)$における結合的代数から$\mathrm{End}(X)$への忘却関手は、$\mathrm{Mnd}(X)^{\mathrm{colax}} \to \mathrm{End}(X)^{\mathrm{colax}}$の包含の$X$における纤维への制限に一致し、整合的な代数的構造を確立する。