[論文レビュー] On perverse homotopy $t$-structures, coniveau spectral sequences, cycle modules, and relative Gersten weight structures

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2014

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、一般の基底スキーム $S$ 上の三角圏的モチーフ圏 $DM(S)$ に新しい $t$-構造 $t_{\text{hom}}(S)$ を導入する。これは、体上でのヴェドフスキーのホモトピー $t$-構造と、離散付値環上でのアーユーブの perverse ホモトピー $t$-構造を一般化する。この構成はボレル＝ムーアモチーフとコンビエゾ・スペクトル系列に依拠し、$t_{\text{hom}}(S)$ のハートが $S$ 上のサイクルモジュールからなると予想されており、コモチーフのゲルステン重み構造がその別表現を提供する。

ABSTRACT

We study the category $DM(S)$ of Beilinson motives (as described by Cisinski and Deglise) over a more or less general base scheme $S$, and establish several nice properties for a version $t_{hom}(S)$ of the perverse homotopy $t$-structure (essentially defined by Ayoub) for it. $t_{hom}(S)$ is characterized in terms of certain stalks of an $S$-motif $H$ and its Tate twists at fields over $S$; it is closely related to certain coniveau spectral sequences for the cohomology of (the Borel-Moore motives of) arbitrary finite type $S$-schemes. We conjecture that the heart of $t_{hom}(S)$ is given by cycle modules over $S$ (as defined by Rost); for varieties over characteristic $0$ fields this conjecture was recently proved by Deglise. Our definition of $t_{hom}(S)$ is closely related to a new effectivity filtration for $DM(S)$ (and for the subcategory of Chow $S$-motives in it). We also sketch the construction of a certain Gersten weight structure for the category of $S$-comotives; this weight structure yields one more description of $t_{hom}(S)$ and its heart.

研究の動機と目的

• $DM(S)$ 上に、体や離散付値環上で既知の $t$-構造を一般化する新しい $t$-構造 $t_{\text{hom}}(S)$ を定義すること。
• 有限型 $S$-スキームのボレル＝ムーアモチーフのコンビエゾ・スペクトル系列と $t_{\text{hom}}(S)$ を関連付けること。
• $t_{\text{hom}}(S)$ のハートがロストが定義した $S$ 上のサイクルモジュールの圏と同値であると予想すること。
• $S$-コモチーブの圏 $\mathfrak{D}(S)$ 上のゲルステン重み構造と $t_{\text{hom}}(S)$ の関係を確立すること。
• $\delta$-コンビエゾフィルトレーションと重みスペクトル系列を通じて、モチーブコホモロジーを研究するための枠組みを提供すること。

提案手法

• $t_{\text{hom}}(S)$ は、$S$ 上のすべての体における $H(i)[i]$ の茎の消失によって定義され、ヴェドフスキーの体に基づく定義を一般化する。
• 有限型 $S$-スキームのボレル＝ムーアモチーフが、関連するコホモロジー的データを定義し、コンビエゾ・スペクトル系列を構成するために用いられる。
• $DM(S)$ 上の $\delta$-有効性フィルトレーションが導入され、補助の次元によるモチーブフィルトレーションを精緻化する。
• $S$-コモチーブの圏 $\mathfrak{D}(S)$ 上に、有効チャウモチーブのシフトによって生成されるゲルステン重み構造 $w_{\text{Ger}}(S)$ が構成される。
• $t_{\text{hom}}(S)$ のハートの対象のコホモロジーが、コンビエゾ・スペクトル系列を通じてカウジン複体を計算することが示される。
• $w_{\text{Ger}}(S)$-重みスペクトル系列と $\delta$-コンビエゾ・スペクトル系列の比較が、特に実現関手を介して確立される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 体上のモチーフのホモトピー $t$-構造を一般の基底スキーム $S$ 上の相対的設定にどのように拡張できるか？
• RQ2 ボレル＝ムーアモチーフのコンビエゾ・スペクトル系列と $DM(S)$ 上の $t_{\text{hom}}(S)$-構造との関係は何か？
• RQ3 $t_{\text{hom}}(S)$ のハートが、予想通り $S$ 上のサイクルモジュールの圏と同値であるか？
• RQ4 $\mathfrak{D}(S)$ 上のゲルステン重み構造は、$t_{\text{hom}}(S)$-構造およびそのハートとどのように関係するか？
• RQ5 $\delta$-コンビエゾ・スペクトル系列は、コモチーブ上の重み構造から生じると解釈できるか？そしてこれはモチーブコホモロジーにどのような意味を持つのか？

主な発見

• $t_{\text{hom}}(S)$ は、$S$ 上のすべての体における $H(i)[i]$ の茎の消失によって特徴づけられ、ヴェドフスキーの体に基づく基準を一般化する。
• 基底 $S$ が完全体のスペクトルであるとき、$t_{\text{hom}}(S)$ はヴェドフスキーのホモトピー $t$-構造の安定的拡張と一致する。
• $S$ が離散付値環上で有限型であるとき、$t_{\text{hom}}(S)$ はアーユーブの perverse ホモトピー $t$-構造と同値である。
• $\mathcal{M}^{BM}_S(X)$ のコホモロジーは、$t_{\text{hom}}(S)$ のハートの対象を係数にとると、コンビエゾ・スペクトル系列を通じてカウジン複体を計算する。
• $S$ 上の体における $H(i)[i]$ の茎の集合は、サイクルモジュールの主要な公理を満たしており、$t_{\text{hom}}(S)$ のハートがサイクルモジュールの圏であるという予想を支持する。
• $\mathfrak{D}(S)$ 上にゲルステン重み構造が構成され、適切な条件下でその重みスペクトル系列が $\delta$-コンビエゾ・スペクトル系列を計算することが示される。