[論文レビュー] On some partitions of an affine flag variety

Xuhua He|ArXiv.org|Oct 27, 2009

Advanced Algebra and Geometry参考文献 15被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、ねじれ結合作用を用いたアフィンフラッグ多様体の階層化を導入し、有限型デリーニュ＝ルスティックおよびスプリンガー層の構成を一般化する。アフィン・デリーニュ＝ルスティック多様体の非空性および次元と、拡張アフィンヘッケ代数における類多項式の非ゼロ性および次数の間の正確な対応関係を確立し、すべてのコhomologically 構成された表現が古典的群における有限次元部分多様体から生じることを証明する。

ABSTRACT

In this paper, we discuss some partitions of affine flag varieties. These partitions include as special cases the partition of affine flag variety into affine Deligne-Lusztig varieties and the affine analogue of the partition of flag varieties into $\cb_w(b)$ introduced by Lusztig in \cite{L1} as part of the definition of character sheaves. Among other things, we give a formula for the dimension of affine Deligne-Lusztig varieties for classical loop groups in terms of degrees of class polynomials of extended affine Hecke algebra. We also prove that any simple $GL_n(\FF_q((\e)))$-module occurs as a subquotient of the cohomology of affine Deligne-Lusztig variety $X_w(1)$ for some $w$ in the extended affine Weyl group $\ZZ^n times S_n$ must occurs for some $w$ in the finite Weyl group $S_n$. Similar result holds for $Sp_{2n}$.

研究の動機と目的

• ねじれ結合作用を用いて、有限型デリーニュ＝ルスティックおよびスプリンガー層の階層化をアフィンフラッグ多様体の設定に一般化すること。
• 拡張アフィンヘッケ代数における類多項式を用いて、アフィン・デリーニュ＝ルスティック多様体の非空性および次元を特定すること。
• GL_nおよびSp_{2n}に対して、アフィン・デリーニュ＝ルスティック多様体のコホモロジーから生じる中心化群のすべての単純表現が、有限ワイル群の元から生じることを示すこと。

提案手法

• 自己同型 σ_a またはフロベニウス σ_F を用いてループ群 G(L) 上にねじれ結合作用を導入する。
• g^{-1}bσ(g) ∈ I·w·I を満たす g ∈ G(L) の集合として、アフィン・デリーニュ＝ルスティック多様体 X_{w,σ}(b) ⊂ G(L)/I を定義する。
• 古典的拡張アフィンヘッケ代数の類多項式を構成し、Geck-Rouquierの有限の場合への一般化を行う。
• dim(X_{w,σ}(b)) が類多項式の次数および要素の長さを含む式に等しいことを証明する。
• G(L) = ⊔_{[w]} G(L)·_σ I·w·I という階層を用いて、これらの多様体の構造を解析する。
• 超区別的および厳密に正の二重分割に関する結果を応用し、単一の共役類をなす場合を特徴付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アフィン・デリーニュ＝ルスティック多様体の非空性および次元は、拡張アフィンワイル群の代数的不変量とどのように関係するか？
• RQ2 アフィン・デリーニュ＝ルスティック多様体のコホモロジーは、中心化群 Z_{G(L),σ}(b) のすべての単純表現を実現できるか？
• RQ3 どの b ∈ G(L) および w ∈ ˜W に対して X_{w,σ}(b) は有限次元的または非空的か？
• RQ4 中心化群 Z_{G(L),σ}(b) が X_{w,σ}(b) のコホモロジーに自明に作用する条件は何か？
• RQ5 X_{w,σ}(b) のコホモロジーが、Z_{G(L),σ}(b) のすべての単純表現を実現する条件は何か？

主な発見

• 古典的群に対して、X_{w,σ}(b) の非空性は、拡張アフィンヘッケ代数における特定の類多項式の非ゼロ性に正確に対応する。
• X_{w,σ}(b) の次元は、類多項式の次数および w の長さを含む式で与えられる。
• GL_nおよびSp_{2n}に対して、X_w(1) のコホモロジーから生じる任意の GL_n(F_q((ε)))-加群が単純である場合、それは必ず有限ワイル群の元 w ∈ S_n から生じる。
• PGL_nおよびPSp_{2n}の単位成分に対して、b が正則半単純的またはスーパー基本的元であるとき、Z_{G(L),σ}(b) のすべてのコホモロジカルに構成された表現は、有限次元部分多様体から生じる。
• f^{-1}(a) が単一の共役類である場合、それは超区別的または厳密に正の二重分割に対応し、中心化群の作用は有限商を通して因子化される。
• PGL_n におけるスーパー基本的元 τ に対して、Z_{G(L),σ}(τ) のすべてのコホモロジカルに構成された表現は自明であり、多様体 X_{w,σ}(τ) が T(L)I/I に含まれるためである。