[論文レビュー] On sums of Apéry polynomials and related congruences

Zhi‐Wei Sun|arXiv (Cornell University)|Jan 10, 2011

Advanced Mathematical Identities参考文献 12被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、素数 $p^2$ および $p^5$ を法としてアペリー多項式 $A_n(x)$ や関連多項式 $W_n(x)$ の和に関する新しい合同式を確立し、モジュラー形式、ベルヌーイ数・オイラー数、類数公式と結びつける。主な結果は、$p^2$ を法とした $A_k(x)$ の和と、$x^2 + y^2$ や $x^2 + 2y^2$ としての素数の表現との深い関係であり、$p \mod 4$ や $p \mod 8$ に応じた明示的な合同式が得られる。これらの結果は、ブルーゲルスの $A_{(p-1)/2} \mod p^2$ に関する予想を一般化し、ソンらの予想を確認する。

ABSTRACT

The Apéry polynomials are given by $$A_n(x)=\sum_{k=0}^n\binom nk^2\binom{n+k}k^2x^k\ \ (n=0,1,2,\ldots).$$ (Those $A_n=A_n(1)$ are Apéry numbers.) Let $p$ be an odd prime. We show that $$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kA_k(x)\equiv\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{2k}k^3}{16^k}x^k\pmod{p^2},$$ and that $$\sum_{k=0}^{p-1}A_k(x)\equiv\left(\frac xp ight)\sum_{k=0}^{p-1}\frac{\binom{4k}{k,k,k,k}}{(256x)^k}\pmod{p}$$ for any $p$-adic integer $x ot\equiv 0\pmod p$. This enables us to determine explicitly $\sum_{k=0}^{p-1}(\pm1)^kA_k$ mod $p$, and $\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kA_k$ mod $p^2$ in the case $p\equiv 2\pmod3$. Another consequence states that $$\sum_{k=0}^{p-1}(-1)^kA_k(-2)\equiv\begin{cases}4x^2-2p\pmod{p^2}&\mbox{if}\ p=x^2+4y^2\ (x,y\in\mathbb Z),\\0\pmod{p^2}&\mbox{if}\ p\equiv3\pmod4.\end{cases}$$ We also prove that for any prime $p>3$ we have $$\sum_{k=0}^{p-1}(2k+1)A_k\equiv p+\frac 76p^4B_{p-3}\pmod{p^5}$$ where $B_0,B_1,B_2,\ldots$ are Bernoulli numbers.

研究の動機と目的

• 素数の $p^2$ および高次のべきを法として、アペリー多項式 $A_n(x)$ および $W_n(x)$ の和に関する新しい合同式を確立すること。
• これらの和を、特に $x^2 + y^2$、$x^2 + 2y^2$、$x^2 + 3y^2$ としての素数の表現を含む、素数の算術的性質と結びつけること。
• 著者自身および他の研究者による $\sum_{k=0}^{p-1} A_k(x) \mod p^2$ および関連和に関する $p^2$ を法とした行動に関する予想を確認・拡張すること。
• $A_k(x)$ の重み付き和の $p$-進付値、特に $\frac{1}{n}\sum (2k+1)(-1)^k A_k(x)$ の分析を行い、整域性および合同式に関する新しい予想を提示すること。
• $p$-進解析および組合せ的恒等式を通じて、超幾何型和、レジェンドル多項式、モジュラー形式の間の関係を調査すること。

提案手法

• 生成関数および超幾何恒等式を用いて、$A_k(x)$ の和を、デデキントのエータ関数および $q$-級数を通じてモジュラー形式と関連付ける。
• 既知の $\sum_{k=0}^{p-1} \frac{\binom{2k}{k}^3}{m^k} \mod p^2$ の合同式を応用し、多項式変換を介して $A_k(x)$ および $W_k(x)$ の新しい合同式を導出する。
• ルジャンドル記号およびヤコビ記号を用いて、$p \mod 4$、$p \mod 8$、$p \mod 3$ に基づく場合分けを行い、ケース別結果を得る。
• $p$-進付値技法を用いて、正規化された和 $\frac{1}{n}\sum (2k+1)(-1)^k A_k(x)$ の整域性および合同性の性質を分析する。
• ベルヌーイ数およびオイラー数に関する既知の結果を応用し、$p^5$ および $p^6$ を法とした高次の合同式を表現する。
• $A_k(x)$ および $D_k(x)^3$ を含む和の $p$-進付値に関する予想を提示・検証し、小規模な $n$ および $p$ に対する数値的検証で裏付けられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $x = -2$ または $x = 1/4$ のとき、$\sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k A_k(x) \mod p^2$ の合同式は何か？ また、それらは素数の表現 $p = x^2 + y^2$ とどのように関係するか？
• RQ2 $\sum_{k=0}^{p-1} A_k(x) \mod p^2$ および $\sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k A_k(x) \mod p$ は、$\mathbb{Q}(\sqrt{-1})$、$\mathbb{Q}(\sqrt{-2})$、$\mathbb{Q}(\sqrt{-3})$ における $p$ の分解型にどのように依存するか？
• RQ3 $\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)(-1)^k A_k(x)$ の $p$-進付値は何か？ また、$\nu_p(n)$ および $\nu_p(4x-1)$ とどのように関係するか？
• RQ4 任意の $p$-進 $x$ に対して $x \equiv -2k \mod p$ を満たすとき、和 $\sum_{r=0}^{p-1} (-1)^r \binom{x}{r}^{2n+1}$ が $p^2$ を法として 0 に収束することを示せるか？
• RQ5 正規化された和 $\frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)(-1)^k A_k(1/4)$ の構造は何か？ また、分母は 12 および $p$ を法として分子にどのような合同式が成り立つか？

主な発見

• 任意の奇素数 $p$ に対して、$\sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k A_k(-2) \equiv \sum_{k=0}^{p-1} (-1)^k A_k(1/4) \mod p^2$ が成り立ち、$p \equiv 1 \mod 4$ かつ $p = x^2 + y^2$（$x$ が奇数）のとき $4x^2 - 2p$ に合同であり、$p \equiv 3 \mod 4$ のときは 0 に合同である。
• $p > 3$ のとき、$\sum_{k=0}^{p-1} (2k+1) A_k \equiv p + \frac{7}{6}p^4 B_{p-3} \mod p^5$ が成り立ち、この和はベルヌーイ数と関連する。
• $p > 3$ のとき、$\sum_{k=0}^{p-1} (2k+1) A_k(-1) \equiv \left(\frac{-1}{p}\right) p - p^3 E_{p-3} \mod p^4$ が成り立ち、この和はオイラー数と関連する。
• 任意の素数 $p$ に対して、$\sum_{k=0}^{p-1} (2k+1) \varepsilon^k A_k^m \equiv 0 \mod p$ が $\varepsilon = \pm 1$ および $m \in \mathbb{Z}^+$ のとき成り立ち、$p$ を法として普遍的に 0 に収束する。
• 正規化された和 $s(n) = \frac{1}{n^2} \sum_{k=0}^{n-1} (2k+1)(-1)^k A_k(1/4)$ は有理数値をとり、分母は $2^{2\nu_2(n!)}$ である。$n$ が奇数のときは分子が $1 \mod 12$ に合同であり、$n$ が偶数のときは $7 \mod 12$ に合同である。
• $p$ を奇素数、$a \in \mathbb{Z}^+$ とするとき、$s(p^a) \equiv t(p^a) \equiv 1 \mod p$ が成り立ち、$s(3^a) \equiv 4 \mod 9$ および $t(3^a) \equiv -8 \mod 243$ が成り立つ。