[論文レビュー] On the Chow theory of Quot schemes of locally free quotients

Qingyuan Jiang|arXiv (Cornell University)|Oct 21, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 20被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、Cohen-Macaulay スキーム上の連接層の局所自由な商をパラメトライズする Quot スキームの Chow 群に対して、期待される次元条件の下で普遍的な公式を確立する。既知の結果（Grassmannian バンドル、吹き替え、Cayley のトリック、flip/flop）を一般化し、Chow 群が退化点の解消の Chow 群の和に分解されることを示し、その重みは Grassmannian のベッチ数である。

ABSTRACT

We prove a formula for Chow groups of $Quot$-schemes which resolve degeneracy loci of a map between vector bundles, under expected dimension conditions. This result provides a unified way to understand known formulae for various geometric situations such as blowups, Cayley's trick, projectivizations, Grassmannian bundles, flops from Springer type resolutions, as well as provide new phenomena such as formulae for Grassmannain type flips/flops and virtual flips. We also give applications to blowups of determinantal ideals, moduli spaces of linear series on curves, and Hilbert schemes of points on surfaces.

研究の動機と目的

• ベクトルバンドルの写像の退化点を解消する Quot スキームの Chow 群を計算する統一的枠組みを提供すること。
• Grassmannian バンドル、吹き替え、Cayley のトリックなどの古典的公式を、一つの構造的公式に一般化すること。
• 双対化層の解消に関する Lefschetz のねじれと Chow 群の和に分解されたモチビック分解として、Quot スキームのモチビック分解を確立すること。
• 導来代数幾何における Chow 群の構造に関する予想を Quot スキームの文脈で検証すること。
• Quot–公式を曲線上の線形系列のモジュライ空間および表面の点の Hilbert スキームに応用すること。

提案手法

• 層のランクとその双対化層を用いて、Quot スキームの整数 Chow 群の分解を導出すること。
• Grassmannian のベッチ数を Chow 群分解における重み係数として用いること。
• Quot–公式を適用する：$ CH^k(\mathfrak{Quot}_{X,d}(\mathscr{G})) \simeq \bigoplus_{j=0}^{\min\{d,\delta\}} \bigoplus_{\ell=0}^{j(\delta-j)} CH^{k-(d-j)(\delta-j)-\ell}(\mathfrak{Quot}_{X,d-j}(\mathscr{K}))^{\oplus b_{\ell}^{(j,\delta)}} $、ここで $\mathscr{K} = \mathcal{E}xt^1_{\mathcal{O}_X}(\mathscr{G}, \mathcal{O}_X)$ である。
• Lefschetz のねじれ $L = 1(-1)$ を用いてモチビック分解を構成し、$ h(\mathfrak{Quot}_{X,d}(\mathscr{G})) = \bigoplus_{j,\ell} \left( h(\mathfrak{Quot}_{X,d-j}(\mathscr{K})) \otimes L^{(d-j)(\delta-j)+\ell} \right)^{\oplus b_{\ell}^{(j,\delta)}} $ を得ること。
• 双対性とチャーン類の計算を用いて、特に flip や flop の場合に、異なる Quot スキームの Chow 群を関係づけること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なる幾何的文脈において、退化点を解消する Quot スキームの Chow 群を一様に記述する方法は何か？
• RQ2 退化点が期待される次元を持つとき、Chow 群の正確な構造は何か？
• RQ3 Quot–公式は、吹き替えの公式、プロジェクト化、Cayley のトリックといった既知の結果を統一できるか？
• RQ4 flip や flop の場合に、$ \mathfrak{Quot}_{X,d}(\mathscr{G}) $ と $ \mathfrak{Quot}_{X,d-\delta}(\mathscr{K}) $ の関係は何か？
• RQ5 Grassmannian のベッチ数が、なぜ Chow 群分解における自然な重み係数として現れるのか？

主な発見

• $ \mathfrak{Quot}_{X,d}(\mathscr{G}) $ の Chow 群は、$ j \in [0, \min\{d, \delta\}] $ でインデックス付けされた直和に分解され、各項は Grassmannian $ \mathrm{Gr}_j(\delta) $ のベッチ数 $ b_{\ell}^{(j,\delta)} $ で重み付けられている。
• $ d \leq \delta $ のとき、Quot スキームは一般に $ X $ 上の Grassmannian バンドルであり、Chow 群の分解には Grassmannian ファイバーと退化点の解消の両方からの寄与が含まれる。
• $ d > \delta $ のとき、Quot スキームと $ \mathfrak{Quot}_{X,d-\delta}(\mathscr{K}) $ は flip を介して有理同型であり、$ \mathfrak{Quot}_{X,d-\delta}(\mathscr{K}) $ の Chow 群は $ \mathfrak{Quot}_{X,d}(\mathscr{G}) $ の Chow 群に埋め込まれ、残りの部分は高次の退化点の解消によるものである。
• $ \delta = 0 $ の場合、有理写像は flop であり、$ \mathfrak{Quot}_{X,d}(\mathscr{G}) $ と $ \mathfrak{Quot}_{X,d}(\mathscr{K}) $ の Chow 環は同型である。
• 公式は既知の結果に特殊化される：$ \mathscr{G} $ が局所自由なとき、Grassmannian バンドルの公式を回復する。$ d=1 $ のとき、プロジェクト化の公式を回復する。$ d=\delta $ のとき、行列式部分集合の吹き替えの公式が得られる。
• 応用として、表面の点の Hilbert スキームや曲線上の線形系列のモジュライ空間の Chow 群の計算が、Quot–公式によるモチビックおよび Chow 理論的構造の分解を通じて可能になる。