[論文レビュー] On the elliptic genera of manifolds of Spin(7) holonomy

Nathan Benjamin, Sarah M. Harrison+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2014

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 35被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、中心電荷 $c=12$ の ${\cal SW}(3/2,2)$ スーパーリーマン代数の特徴関数に分解することで、スピン(7)ホロノミーを持つ多様体の楕円的 genus を計算し、特にマチュー群 $M_{24}$ に類似した、散発的群への示唆的な接続を明らかにする。この接続は併せて発表された論文で明確化される。本研究は、モジュラー形式と表現論を用いて、K3 縮約で観察された月暈現象をスピン(7)多様体へと拡張する。

ABSTRACT

Superstring compactification on a manifold of Spin(7) holonomy gives rise to a 2d worldsheet conformal field theory with an extended supersymmetry algebra. The $\mathcal{N}=1$ superconformal algebra is extended by additional generators of spins 2 and 5/2, and instead of just superconformal symmetry one has a $c=12$ realization of the symmetry group $\mathcal{SW}(3/2,2)$. In this paper, we compute the characters of this supergroup, and decompose the elliptic genus of a general Spin(7) compactification in terms of these characters. We find suggestive relations to various sporadic groups, which are made more precise in a companion paper.

研究の動機と目的

• スピン(7)多様体の楕円的 genus を、合同部分群 $\Gamma_\theta$ の下でのモジュラー関数として計算すること。
• 楕円的 genus を $c=12$ の ${\cal SW}(3/2,2)$ スーパーリーマン代数の既約特徴関数に分解すること。
• ${\cal SW}(3/2,2)$ 代数の表現論と散発的有限群、特に $M_{24}$ の間の潜在的な接続を調査すること。
• K3 縮約で観察された月暈現象を、より高次元のカーバイ＝ヤウに類似した幾何に一般化する特徴関数分解を提供すること。

提案手法

• 楕円的 genus を、オイラー特性 $\chi(X)$ で固定されるパラメータを含む $\Gamma_\theta$ の下での一価関数族として導出する。
• $c=12$ における ${\cal SW}(3/2,2)$ 代数のユニタリ最高重量表現を構成し、質量のあるものと質量のない特徴関数を含む。
• ヤコビのシータ関数とデデキンドのエータ関数を用いて、分解に関与する特徴関数とモジュラー形式を表現する。
• ${\cal SW}(3/2,2)$ 代数の交換関係を適用し、ヴェルマ加群の構造を決定し、部分特異的ベクトルを同定する。
• 明示的なモジュラー形式を用いて、楕円的 genus を ${\cal SW}(3/2,2)$ 代数の既約表現に特徴関数分解する。
• 分解における係数を、特に $M_{24}$ の既約表現の次元と比較し、示唆的な数値的パターンを同定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 スピン(7)多様体の楕円的 genus は、どのようないずれの $\Gamma_\theta$ の下でのモジュラー関数として表現できるか？
• RQ2 $c=12$ の ${\cal SW}(3/2,2)$ スーパーリーマン代数の完全な特徴関数の集合は何か？ また、それらは楕円的 genus をどのように分解するか？
• RQ3 特徴関数分解における係数と散発的群の表現との間に、数値的または構造的接続があるか？
• RQ4 K3 縮約で観察された月暈的現象は、${\cal SW}(3/2,2)$ 代数を通じてスピン(7)多様体へと拡張可能か？

主な発見

• スピン(7)多様体の楕円的 genus は、パrameter としてオイラー特性 $\chi(X)$ を持つ $\Gamma_\theta$ の下でのモジュラー関数である。
• ${\cal SW}(3/2,2)$ 代数の質量のある特徴関数は、[7] での予想と一致し、代数の一貫性のある特徴関数集合が得られた。
• ${\cal SW}(3/2,2)$ 代数の質量のない特徴関数は明示的に構成され、楕円的 genus の分解に寄与することが示された。
• 楕円的 genus が ${\cal SW}(3/2,2)$ 特徴関数に分解されることで、特に $h = n + \frac{1}{4}$ 項の係数において、$M_{24}$ の既約表現の次元の和に類似した数値的パターンが明らかになった。
• $L_0$ 固有値 4 および $X_0$ 固有値 20 を持つ、$|h=\frac{1}{2}, x=\frac{1}{2}\rangle$ ヴェルマ加群に部分特異的ベクトルが同定され、特徴関数分類に寄与した。
• 結果は、スピン(7)多様体の幾何、${\cal SW}(3/2,2)$ 代数の表現論、および散発的有限群との間の深いつながりを示唆しており、これはまだ完全には理解されていないが、併せて発表された論文でさらに検討されている。