[論文レビュー] On the limit of spectral measures associated to a test configuration

Tomoyuki Hisamoto|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 37被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、ケーラー幾何における弱測地線の族に沿って、テスト配置からのスペクトル測度が、正規化されたデュイステルマット＝ヘックマン測度に収束することを確立する。$L^p$-ノルムが測地線の接ベクトルに等しく、ドナルドソンのカルビ functional に対する下界推定値のエネルギー論的解釈を提供し、ケーラー＝アインシュタイン設定へと拡張する。

ABSTRACT

We apply the integral formula of volumes to the family of graded linear series constructed from any test configuration. This solves the conjecture raised by Witt--Nyström so that the sequence of spectral measures for the induced $\mathbb{C}^*$-action on the central fiber converges to the canonical Duistermatt--Heckman measure defined by the associated weak geodesic ray. As a consequence, we show that the algebraic $p$-norm of the test configuration equals to the $L^p$-norm of tangent vectors. Using this result, We may give a natural energy theoretic explanation for the lower bound estimate on the Calabi functional by Donaldson and prove the analogous result for the Kähler--Einstein metric.

研究の動機と目的

• ウォンとネイツケ（2010）が提起した、テスト配置に関連するスペクトル測度の極限に関する予想を解決すること。
• テスト配置に関連する $\mathbb{C}^*$-作用の固有値の漸近的分布と、ケーラー計量空間における弱測地線の幾何の間の明確な関係を確立すること。
• ドナルドソンのカルビ functional に対する下界推定値のエネルギー論的解釈を、接ベクトルの $L^p$-ノルムを用いて行うこと。
• モンジュ＝アンプère測度を介して、テスト配置の $p$-ノルムを幾何的 $L^p$-ノルムへと一般化し、[Don05] の結果を拡張すること。
• スゼケリヒディが提唱した強い $K$-安定性条件を、$K$-エネルギーの勾配とドナルドソン＝フタキ不変量を結びつけることで裏付けること。

提案手法

• テスト配置の中心ファイバーにおける $\mathbb{C}^*$-作用のトレースの漸近展開を用いて、ドナルドソン＝フタキ不変量を定義する。
• テスト配置に関連するグレード付き線形系列の漸近的挙動に関して、[His12] の結果を応用する。
• [RWN11] の手法を用いて、テスト配置から弱測地線 $\varphi_t$ を構成し、ケーラー計量空間 $\mathcal{H}$ と関連付ける。
• 固有値 $\lambda/k$ に重み $\dim V_\lambda$ を割り当てた正規化された固有値分布としてスペクトル測度を定義し、それが $(\dot{\varphi}_t)_*\mathrm{MA}(\varphi_t)$ に弱収束することを証明する。
• スペクトル測度の収束を用いて、テスト配置の $p$-ノルムを、モンジュ＝アンプère測度 $\mathrm{MA}(\varphi_t)/n!$ に関する $|\dot{\varphi}_t - F_0|$ の $L^p$-ノルムとして定義する。
• ホルダーの不等式を $L^p$-ノルムとスカラー曲率 $S_\varphi - \hat{S}$ に適用し、$K$-エネルギーの勾配とドナルドソン＝フタキ不変量 $F_1$ を結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 テスト配置に関連するスペクトル測度の列は、関連する弱測地線に沿って、ある定常測度に収束するか？
• RQ2 弱測地線の接ベクトルの $L^p$-ノルムは、テスト配置の代数的 $p$-ノルムと同一視可能か？
• RQ3 $K$-エネルギーの勾配を用いたエネルギー論的解釈は、ドナルドソンのカルビ functional に対する下界推定値を説明できるか？
• RQ4 スペクトル測度の極限は、$t$ や初期計量 $\varphi$ に依存しない、正規化されたデュイステルマット＝ヘックマン測度を与えるか？
• RQ5 弱測地線に沿った $K$-エネルギー勾配の解析的挙動を通じて、強い $K$-安定性条件を正当化できるか？

主な発見

• テスト配置の中心ファイバーにおける $\mathbb{C}^*$-作用に関連するスペクトル測度は、弱収束し、$\lim_{k\to\infty}\frac{n!}{k^n}\sum_\lambda \delta_{\lambda/k}\dim V_\lambda = (\dot{\varphi}_t)_*\mathrm{MA}(\varphi_t)$ を満たす。
• テスト配置の $p$-ノルム $\|\mathcal{T}\|_p$ は、$\mathrm{MA}(\varphi_t)/n!$ に関する $|\dot{\varphi}_t - F_0|$ の $L^p$-ノルムに等しく、$\|\mathcal{T}\|_p = \left(\int_X |\dot{\varphi}_t - F_0|^p \frac{\mathrm{MA}(\varphi_t)}{n!}\right)^{1/p}$ を示す。
• 弱測地線に沿った $K$-エネルギーの勾配は、$\int_X (\dot{\varphi}_0 - F_0)(S_\varphi - \hat{S}) \frac{\mathrm{MA}(\varphi)}{n!} \geqslant F_1$ を満たし、これによりドナルドソンの不等式 $\|\mathcal{T}\|_p \|S_\varphi - \hat{S}\|_{L^q} \geqslant F_1$ が、共役指数 $p,q$ に対して成立することが示される。
• ファノの場合には、同じ結果がディング関数数に対しても成り立ち、$\|\mathcal{T}\|_p \left\| \frac{n!e^{-\varphi}}{\mathrm{MA}(\varphi)} - 1 \right\|_{L^q} \geqslant F_1$ を得る。これはドナルドソンの結果の類似を提供する。
• 強い $K$-安定性条件 $F_1 \leqslant -\delta \|\mathcal{T}\|$ は、解析的条件 $\int_X (\dot{\varphi}_0 - F_0)(S_{\varphi_t} - \hat{S}) \frac{\mathrm{MA}(\varphi_t)}{n!} \leqslant -\delta \|\dot{\varphi}_0 - F_0\|$ によって裏付けられ、$K$-エネルギーの正規性と関連する可能性を示唆する。