[論文レビュー] On the noncommutative residue for pseudodifferential operators with log-polyhomogeneous symbols

Matthias Lesch|ArXiv.org|Aug 13, 1997

Advanced Operator Algebra ResearchMathematics参考文献 13被引用数 19

ひとこと要約

本稿は、余接変数の対数累乗を含む『対数多項同次的記号』を備えた擬微分作用素の代数を導入し、このクラスに対して一般化された非可換トレースを確立する。本稿は、高次の対数項のため、完全な代数は非自明なトレースを有さないが、階層的な高次非可換トレース関数が存在することを示し、コンツェビッチ–ヴィシコフ・トレースがこの設定に自然に拡張されることを示し、ゼータ関数のメロモルフィック続行を通じてトレース関数を提供する。

ABSTRACT

We study various aspects of the noncommutative residue for an algebra of pseudodifferential operators whose symbols have an expansion $a\sim \sum_{j=0}^\infty a_{m-j}, a_{m-j}(x,ξ)=\sum_{l=0}^k a_{m-j,l}(x,ξ) \log^l|ξ|,$ where $a_{m-j,l}$ is homogeneous in $ξ$ of degree $m-j$. We will explain why this algebra of pseudodifferential operators is natural. For a pseudodifferential operator in this class, $A$, and a classical elliptic pseudodifferential operator, $P$, we show that the generalized zeta-function $\Tr(AP^{-s})$ has a meromorphic continuation to the whole complex plane, however possibly with higher order poles. Our algebra of operators has a bigrading given by the order and the highest log-power occuring in the symbol expansion. We construct "higher" noncommutative residue functionals on the subspaces given by the log-grading. However, in contrast to the classical case we prove that the whole algebra does not admit any nontrivial traces. Finally we show that the analogue of the Kontsevich-Vishik trace also exists on our algebra. Our method also provides an alternative approach to the Kontsevich-Vishik trace.

研究の動機と目的

• . 導入された古典的理論の拡張として、対数多項同次的記号を有する自然な擬微分作用素代数を定義し、研究すること。
• . 対称形式の残留と非可換トレースを、シンプレクティックコーン上の対数多項同次的関数へ一般化すること。
• . 対数累乗のグレーディングによってインデックス付けされた高次非可換トレース関数を構成すること。
• . ヒート展開における高次の対数項のため、完全な代数は非自明なトレースを有さないことを示すこと。
• . 一般化されたゼータ関数のメロモルフィック続行を用いて、コンツェビッチ–ヴィシコフ・トレースをこの代数へ拡張すること。

提案手法

• . 対数多項同次的記号を、同次的成分に係数を乗じた |ξ| の対数累乗の展開として導入する。
• . シンプレクティックコーン上の対数多項同次的関数へのシンプレクティック残留の一般化を行い、それがポisson括弧の和を妨げる理由を示す。
• . メリン変換を用いて、一般化された ζ 関数 Tr(AP−s) を、対数項を含むヒートトレース漸近展開と関連付ける。
• . 対数累乗のグレーディングで分類された部分空間に、高次非可換トレース関数 Resk を定義し、それらがコンmutator 上で消えることを証明する。
• . CLa,k に属する作用素に対して、Tr(AP−s) が複素数平面 C へメロモルフィック続行可能であり、極の位数が最大 k+1 に達することを証明する。
• . Tr(AP−s) を s=0 で評価することにより、コンツェビッチ–ヴィシコフ・トレースを構成し、それがトレースおよび局所性の性質を満たすことを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 . 非可換トレースは、対数多項同次的記号を有する擬微分作用素へ一般化可能か？この設定におけるトレースの障害は何か？
• RQ2 . ヒートトレース展開における高次の対数項は、擬微分作用素代数上のトレースの存在にどのように影響するか？
• RQ3 . 対数累乗のグレーディングに対応する残留関数の階層は存在するか？それらはコンmutator 上で消えるか？
• RQ4 . コンツェビッチ–ヴィシコフ・トレースはこの代数へ拡張可能か？ゼータ関数正則化を用いて特徴づけられるか？
• RQ5 . シンプレクティック残留は、対数多項同次的関数がポisson括弧の和で表せないことを妨げる役割を果たすか？

主な発見

• . 対数多項同次的作用素に対する一般化された ζ 関数 Tr(AP−s) は、複素数平面 C へメロモルフィック続行可能であり、極の位数は最大 k+1 に達する。
• . 対数多項同次的擬微分作用素の完全な代数は、高次の対数項のため、非自明なトレースを有さない。
• . 対数累乗のグレーディングで分類された部分空間上に、高次非可換トレース関数 Resk の階層が存在し、それらはコンmutator 上で消える。
• . コンツェビッチ–ヴィシコフ・トレースはこの代数へ拡張可能であり、正則な楕円的 P に対して TR(A) = Tr(AP−s)|s=0 で特徴づけられる。
• . 残留関数 Resk は、正則関数族 A(z) に対して、次の関係を満たす：Resk+1(TR(A(z)))|z=ν = (−1)k+1/(k+1) × Resk(A(ν))。
• . シンプレクティックコーン上の対数多項同次的関数に対するシンプレクティック残留は、その関数がポisson括弧の和で表せないことを妨げる。これは古典的状況の一般化である。