[論文レビュー] On the structure of $End_{u_k(2)}(\Omega_k^{\otimes r})$

Qiang Fu, Qunguang Yang|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2011

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 9被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、$l \geq 3$ の奇数であり、$k$ が原始 $l$ 乗根を含む体であるとき、無限小量子群 $\mathfrak{u}_k(2)$ における自然モジュール $\Omega_k$ のテンソル冪 $\Omega_k^{\otimes r}$ の自己準同型代数 $\mathrm{End}_{\mathfrak{u}_k(2)}(\Omega_k^{\otimes r})$ の基本代数を決定する。little $q$-シュール代数およびクイバー代数の表現論を用いて、ブロックを分類し、クイバーと関係式を用いて自己準同型代数の構造を計算する。その結果、これはブロックの型と $l$-ドミナント重みに依存する基本代数の直積と同型であることが示される。

ABSTRACT

Let $u_k(2)$ be the infinitesimal quantum $\frak{gl}_2$ over $k$, where $k$ is a field containing an $l$th primitive root $\epsilon$ of 1 with $l\geq 3$ {\it odd}. We will determine the basic algebra for ${u_k(2)}(\Omega_k^{\otimes r})$, where $\Omega_k$ is the natural module for $u_k(2)$.

研究の動機と目的

• 無限小量子群 $\mathfrak{u}_k(2)$ の自然モジュール $\Omega_k$ に対して、自己準同型代数 $\mathrm{End}_{\mathfrak{u}_k(2)}(\Omega_k^{\otimes r})$ の構造を決定すること。
• little $q$-シュール代数 $\mathfrak{u}_k(2,r)$ および無限小 $q$-シュール代数 $s_k(2,r)$ の半単純および非半単純ブロックを分類すること。
• クイバー表現と関係式を用いて、$\mathrm{End}_{\mathfrak{u}_k(2)}(\Omega_k^{\otimes r})$ の基本代数を計算すること。
• 自己準同型代数の構造を通じて、無限小量子群におけるシュール＝ワイエルシュトラス双対性との関係を確立すること。

提案手法

• 問題を little $q$-シュール代数 $\mathfrak{u}_k(2,r)$ の研究に還元するため、同型 $\mathrm{End}_{\mathfrak{u}_k(2)}(\Omega_k^{\otimes r}) \cong \mathrm{End}_{\mathfrak{u}_k(2,r)}(\Omega_k^{\otimes r})$ を用いる。
• 無限小量子 $\mathfrak{sl}_2$ $\mathfrak{u}'_k(2)$ の表現論に関する結果 [1] を適用し、既約モジュールおよび射影モジュールを分類する。
• 射影被覆の構造と準同型空間の性質を用いて、各ブロックの基本代数のクイバーと関係式を構成する。
• $l$-ドミナント重み $\lambda$ を用いて $\mathfrak{u}_k(2,r)$ のブロックを分類し、半単純ブロックと非単純射影を持つブロックを区別する。
• 非ゼロの半単純ブロックの数 $a$ および非半単純ブロックの添字集合 $J$ を、$r$ と $l$ に応じて計算する。
• 関係式 $\alpha_1\beta_2 = \alpha_2\beta_1 = 0$、$\alpha_1\beta_1 = \alpha_2\beta_2$、$\beta_1\alpha_1 = \beta_2\alpha_2 = \gamma\delta$ を持つクイバー $Q$ を用いて、非半単純ブロックの基本代数を記述する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 無限小量子群 $\mathfrak{u}_k(2)$ の自然モジュール $\Omega_k$ に対して、自己準同型代数 $\mathrm{End}_{\mathfrak{u}_k(2)}(\Omega_k^{\otimes r})$ の構造は何か？
• RQ2 little $q$-シュール代数 $\mathfrak{u}_k(2,r)$ のブロックはどのように分解され、どのブロックが半単純であるか？
• RQ3 自己準同型代数 $\mathrm{End}_{\mathfrak{u}_k(2)}(\Omega_k^{\otimes r})$ の基本代数のクイバーと関係式の集合は何か？
• RQ4 $\overline{B}_1^r(\lambda)$ が3つの頂点と特定の関係を持つクイバーを持つための条件は何か？
• RQ5 ブロック $\overline{B}_1^r(\lambda)$ のサイズが自己準同型代数の構造に与える影響は何か？

主な発見

• 自己準同型代数 $\mathrm{End}_{\mathfrak{u}_k(2)}(\Omega_k^{\otimes r})$ は、$\Lambda_r \cong k^a \times \prod_{\lambda \in J} \Lambda_r(\overline{B}_1^r(\lambda))$ と同型であり、ここで $a$ は非ゼロの半単純ブロックの数である。
• もし $r \geq 2l - 2$ ならば、$a = 1$ であり、ちょうど1つの非自明な半単純ブロックが存在する。
• $l \leq r < 2l - 2$ のとき、非ゼロの半単純ブロックの数は、$r$ が偶数ならば $a = \frac{l - r}{2}$、$r$ が奇数ならば $a = \frac{l - r + 1}{2}$ である。
• $\lambda \in J \cap P_1(D)$ のとき、基本代数 $\Lambda_r(\overline{B}_1^r(\lambda))$ は2つの頂点 $X, Y$ と、$\alpha: X \to Y$、$\beta: Y \to X$ の矢印を持ち、関係式 $\beta\alpha = 0$ を満たす。
• $\lambda \in J \setminus P_1(D)$ のとき、基本代数 $\Lambda_r(\overline{B}_1^r(\lambda))$ は3つの頂点 $X, Y, Z$ と、関係式 $\alpha_i\beta_j = 0$、$\alpha_1\beta_1 = \alpha_2\beta_2$、$\beta_i\alpha_j = 0$、$\gamma\delta = 0$、$\gamma\beta_i = 0$、$\alpha_i\delta = 0$、および $\beta_1\alpha_1 = \beta_2\alpha_2 = \delta\gamma$ を持つ。
• $\overline{B}_1^r(\lambda)$ が $|\overline{B}_1^r(\lambda)| = 3$ であるための必要十分条件は $\lambda \in P_1(D)$ であり、それ以外の場合は $|\overline{B}_1^r(\lambda)| \geq 5$ である。