[論文レビュー] Orbifold Vortex and Super Liouville Theory

Jian Zhao|arXiv (Cornell University)|Nov 30, 2011

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 34被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非可換ボルテックスが軌道空間 $\mathbb{C}/\mathbb{Z}_p$ 上に存在する場合と、$\mathcal{N}=1$ スーパーリウヴィル理論における最低次元の退化状態のラウンド場の相関関数との間で、AGTに類似した双対性を確立する。局在化技術を用いて、軌道空間ボルテックスの分配関数を導出し、パラメータの辞書が固定された後、それらがスーパーリウヴィル理論における超幾何関数に等しくなることを示し、軌道化されたゲージ理論を含むラウンド/NS混合セクターへのAGT対応の拡張を達成する。

ABSTRACT

We study the nonabelian vortex counting problem on $\mathbb{C}/\mathbb{Z}_p$. At first we calculate vortex partition functions on the orbifold space using localization techniques, then we find how to extract orbifold vortex partitions function from orbifold linear quiver instanton partition functions. Finally, we study the AGT like relation between orbifold SU(2) vortices and $\mathcal{N} = 1$ super Liouville theory in the mixed R/NS sector by fixing the dictionary among parameters in the common hypergeometric functions system.

研究の動機と目的

• 非可換ボルテックスが軌道化された空間、特に $\mathbb{C}/\mathbb{Z}_p$ 上に拡張されたAGT対応を達成すること。
• インスタントン数え上げに用いられるのと同様の局在化技術を用いて、$\mathbb{C}/\mathbb{Z}_p$ 上のボルテックス分配関数を導出すること。
• ボルテックスの分配関数と $\mathcal{N}=1$ スーパーリウヴィル理論における退化場の相関関数を関連させることで、軌道化ボルテックスの conformal field theory 双対を同定すること。
• 混合ラウンド/NSセクターにおけるゲージ理論パラメータとスーパーリウヴィル理論の運動量との間の一貫したパラメータ辞書を確立すること。
• 軌道化ボルテックス分配関数が、最低次元の退化状態ラウンド場の4点相関関数から生じる超幾何関数と一致することを示すこと。

提案手法

• 局在化技術を用いて、$\mathbb{C}/\mathbb{Z}_p$ 上のボルテックス分配関数を計算し、$\mathbb{C}^2/\mathbb{Z}_p$ インスタントン数え上げに用いられるのと同様の手法を適用する。
• インスタントンモジュライ空間における $\mathbb{Z}_p$ 軌道作用の下での分解に基づき、ゲージおよび質量パラメータに離散的電荷を割り当てることでボルテックス分配関数を導出する。
• 多段のヤングテーブルを1段の配置に組み合わせ的に簡約することで、軌道化インスタントンとボルテックス分配関数の関係を確立する。
• コブール分岐パラメータ、質量パラメータ、スーパーリウヴィル理論の運動量との間のパラメータ辞書を固定し、ボルテックス分配関数を超幾何関数に写像する。
• 最低次元の退化状態ラウンド場の相関関数における超幾何関数の構造と一致することにより、双対性を検証する。
• 解析により、軌道化ボルテックス分配関数が、1つの退化場と3つのラウンド場を含む4点関数に対応することが確認され、AGTフレームワークと整合的である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathbb{C}/\mathbb{Z}_p$ 上のボルテックス分配関数は局在化技術を用いて計算可能か？ また、それらは軌道化インスタントン分配関数とどのように関係するか？
• RQ2 混合ラウンド/NSセクターにおけるゲージ理論パラメータを $\mathcal{N}=1$ スーパーリウヴィル理論の運動量にマッピングする正確なパラメータ辞書は何か？
• RQ3 スーパーリウヴィル理論を通じて、非可換ボルテックスが軌道化された空間にAGT双対性をどのように拡張できるか？
• RQ4 軌道化ボルテックス分配関数の超幾何関数構造は、スーパーリウヴィル理論における最低次元の退化状態ラウンド場の相関関数のそれと一致するか？
• RQ5 高次のインスタントン補正に対してこの双対性は頑健か？ また、単純な表面演算子を伴う $\mathbb{Z}_2$ 軌道化に一般化可能か？

主な発見

• 局在化を用いて $\mathbb{C}/\mathbb{Z}_p$ 上のボルテックス分配関数が計算され、インスタントン分配関数に類似した構造を示すが、ボルテックスモジュライ空間に適合された形となる。
• 軌道化ボルテックス分配関数は、1次元のヤングテーブルへの還元により、軌道化線形クオーバーインスタントン分配関数から抽出可能であることが示された。
• 軌道化ボルテックス分配関数と、$\mathcal{N}=1$ スーパーリウヴィル理論における退化ラウンド場の4点相関関数の超幾何関数因子との間で直接的な対応関係が確立された。
• パラメータ辞書は $b^{-1} = \hbar$、$\alpha_1 = a + \text{const}$、$\alpha_2 + \alpha_3 = m_1 + \text{const}$、$\alpha_2 - \alpha_3 = m_2 + \text{const}$ を与え、非軌道化AGTケースと定数項のずれを除いて一致する。
• 最低次元の退化状態ラウンド状態に対して同定が成立し、パラメータ再定義の後、両側の超幾何関数の構造が完全に一致した。
• 結果は、$\mathbb{C}/\mathbb{Z}_2$ インスタントン分配関数と $\mathcal{N}=1$ スーパーリウヴィル理論との完全なAGT双対性を示唆しており、3インスタントンオーダーまでのチェックで双対性が確認された。