[論文レビュー] Ordering with precedence constraints and budget minimization

Akbar Rafiey, Jeff Kinne+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 17, 2015

Advanced biosensing and bioanalysis techniques参考文献 23被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、先行順序制約と予算最小化を特徴とする新しいスケジューリングモデル、すなわち二部グラフ順序付け問題を導入する。集合Bの頂点は購入可能な入力であり、集合Sの頂点は販売可能な出力であり、辺は依存関係を示す。著者らは、一般にO*(2^n)時間で実行される正確なアルゴリズムを提示し、二部順列グラフ、自明に完璧な二部グラフ、およびコ二部グラフなどの特定のグラフクラスに対しては多項式時間解法を提供する。これにより、解けるケースとNP完全なケースの二分類が進展する。

ABSTRACT

We introduce a variation of the scheduling with precedence constraints problem that has applications to molecular folding and production management. We are given a bipartite graph $H=(B,S)$. Vertices in $B$ are thought of as goods or services that must be \emph{bought} to produce items in $S$ that are to be \emph{sold}. An edge from $j\in S$ to $i\in B$ indicates that the production of $j$ requires the purchase of $i$. Each vertex in $B$ has a cost, and each vertex in $S$ results in some gain. The goal is to obtain an ordering of $B\cup S$ that respects the precedence constraints and maximizes the minimal net profit encountered as the vertices are processed. We call this optimal value the \emph{budget} or \emph{capital} investment required for the bipartite graph, and refer to our problem as \emph{the bipartite graph ordering problem}. The problem is equivalent to a version of an NP-complete molecular folding problem that has been studied recently [12]. Work on the molecular folding problem has focused on heuristic algorithms and exponential-time exact algorithms for the un-weighted problem where costs are $\pm 1$ and when restricted to graphs arising from RNA folding. The bipartite graph present work seeks exact algorithms for solving the bipartite ordering problem. We demonstrate an algorithm that computes the optimal ordering in time $O^*(2^n)$ when $n$ is the number of vertices in the input bipartite graph. Our main result is a general strategy that can be used to find an optimal ordering in polynomial time for bipartite graphs that satisfy certain properties. We apply the technique to a variety of graph classes, obtaining polynomial-time solutions to the bipartite graph ordering problem for bipartite permutation graphs, trivially perfect, co-bipartite graphs, and trees.

研究の動機と目的

• 重み付き完了時間ではなく、必要な資本投資（予算）を最小化することに焦点を当てた、先行順序制約を伴うスケジューリングの新規変種をモデル化・解法すること。
• 頂点Bが購入可能な入力であり、頂点Sが販売可能な出力であり、SからBへの辺が依存関係を示すという、二部グラフ順序付け問題として問題を形式化すること。
• 多項式時間で解けるグラフクラスを同定し、解けるケースとNP完全なケースの完全な二分類を目指すこと。
• 分子折りたたみやRNA構造変換に関する先行研究を一般化・拡張し、予算最適化順序付け問題として再定式化すること。
• 素集合と閉包の辞書式順序に基づく一般アルゴリズム戦略を構築し、予算制約下での最適スケジューリングを導くこと。

提案手法

• 問題は、SからBへの辺がSのアイテムがBのアイテムの購入を必要とするという意味で、有向二部グラフH = (B, S)としてモデル化される。
• 各ステップでの予算は、処理済み頂点の累積純利益（収益からコストを引いたもの）として定義され、順序付け中に遭遇する最小の予算を最大化することが目的である。
• 鍵となるアルゴリズム戦略として、素集合と閉包集合（Superset_I(J)）を用い、頂点群の辞書式順序を定義することで、全探索を回避した最適再順序付けを可能にする。
• アルゴリズムは、閉包および依存関係制約を満たす辞書式最初の素部分集合Iを再帰的に処理し、予算の保存を保証する。
• 正しさの証明は、任意の最適順序が、必要な予算を増加させることなく、アルゴリズムの順序ルールに従うように変換可能であることを示すことによって確立される。
• 一般ケースではO*(2^n)の実行時間を示すが、二部順列グラフ、自明に完璧な二部グラフ、およびコ二部グラフなどの特定のグラフクラスでは多項式時間にまで短縮される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どの種の二部グラフに対して、予算最小化順序付け問題が多項式時間で解けるか。
• RQ2 素集合と閉包に基づく提案されたアルゴリズム戦略を、新たな解けるグラフクラスを同定するために一般化できるか。
• RQ3 二部グラフ順序付け問題において、多項式時間で解けるインスタンスとNP完全なインスタンスの間に二分法的分類が存在するか。
• RQ4 アルゴリズムを、より広範なグラフ族に対して近似保証や固定パrameter可 tractable（FPT）解法を得るために適合できるか。
• RQ5 アルゴリズムの構造が、多項式時間で実行されるすべてのグラフクラスを特徴づけることができるか。

主な発見

• 本稿は、一般の二部グラフに対してO*(2^n)時間で最適順序を計算する正確なアルゴリズムを提示する。ここでnは頂点数である。
• 二部順列グラフ、自明に完璧な二部グラフ、およびコ二部グラフの3つの特定のグラフクラスに対して、多項式時間アルゴリズムが開発された。
• アルゴリズムは、閉包に基づく素集合の辞書式順序を用いて、再順序付け中に予算制約を保証する。
• 正しさの証明は、数学的帰納法と背理法を用い、任意の最適順序が、必要な予算を増加させることなくアルゴリズムのルールに従うように変換可能であることを示している。
• 著者らは、先行順序制約下で任意の与えられた二部グラフに対して、最小の資本投資（予算）を正しく同定できることを確立した。
• 解けるインスタンスとNP完全なインスタンスを分ける可能性のある二分法的定理の基盤が築かれた。