[論文レビュー] Painleve Field Theory

A. Levin, S Aminov+3 more|arXiv (Cornell University)|Jun 13, 2013

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 77被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、楕円曲面上の無限ランクな正則ベクトル束上の等モノドロミー変形を用いて、モジュラーパラメータを時間とする Painlevé VI 方程式およびその退化形を一般化する多次元場の理論を導入する。主な結果は、1+1次元および2+1次元の非局所的で非自己同型のハミルトニアン方程式の導出であり、これは SL(N,C) のモノドロミー保存系に還元され、N=2 の場合に標準的な Painlevé VI 方程式に対応する。

ABSTRACT

We propose multidimensional versions of the Painlev\'e VI equation and its degenerations. These field theories are related to the isomonodromy problems of flat holomorphic infinite rank bundles over elliptic curves and take the form of non-autonomous Hamiltonian equations. The modular parameter of curves plays the role of time. Reduction of the field equations to the zero modes leads to ${ m SL}(N, {\mathbb C})$ monodromy preserving equations. The latter coincide with the Painlev\'e VI equation for $N\!=\!2$. We consider two types of the bundles. In the first one the group of automorphisms is the centrally and cocentrally extended loop group $L({ m SL}(N, {\mathbb C}))$ or some multiloop group. In the case of the Painlev\'e VI field theory in D=1+1 four constants of the Painlev\'e VI equation become dynamical fields. The second type of bundles are defined by the group of automorphisms of the noncommutative torus. They lead to the equations in dimension 2+1. In both cases we consider trigonometric, rational and scaling limits of the theories. Generically (except some degenerate cases) the derived equations are nonlocal. We consider Whitham quasiclassical limit to integrable systems. In this way we derive two and three dimensional integrable nonlocal versions of the integrable Euler-Arnold tops.

研究の動機と目的

• 楕円曲面上の無限ランクバンドル上の等モノドロミー変形を用いて、Painlevé VI 方程式を多次元場の理論へ一般化すること。
• 非自己同型ハミルトニアン系におけるモジュラー・パラメータが時間として果たす役割を調査すること。
• SL(N,C) 接続のモノドロミー保存方程式を、場の理論の還元として導出すること。
• Whitham 量子古典的極限を用いて非局所的可積分系を調査し、非局所的Euler-Arnoldトップの一般化を導出すること。
• 2種類の自己同型群（ループ群と非可換トーラス対称性）を比較し、それらが得られる時空次元に与える影響を明らかにすること。

提案手法

• モジュラー・パラメータを時間とする、楕円曲面上の無限ランク正則バンドル上の非自己同型ハミルトニアン方程式を定式化する。
• 平坦接続に対する等モノドロミー変形理論を用いて、定数の代わりに動的な場を含む場の理論方程式を導出する。
• 2種類の自己同型群（中心的および余中心的拡張されたループ群 L(SL(N,C)) と非可換トーラス群）を適用する。
• 三角関数的、有理的、スケーリングの極限を適用して、さまざまな可積分場の理論を導出する。
• 場の理論方程式をゼロモードに還元することで、SL(N,C) のモノドロミー保存系を回復し、N=2 の場合に Painlevé VI 方程式が得られることを示す。
• Whitham 量子古典的極限を適用し、2+1次元および3+1次元の非局所的可積分系を導出する。これにより、Euler-Arnoldトップの一般化が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 等モノドロミー変形を用いて、Painlevé VI 方程式を高次元の場の理論へどのように一般化できるか？
• RQ2 Painlevé VI の4つの定数を1+1次元で場に昇格させた場合、どのような動的場の理論方程式が導かれるか？
• RQ3 ループ群と非可換トーラス群という2種類の自己同型群は、得られる場の理論の次元および構造にどのように影響を与えるか？
• RQ4 これらの場の理論のWhitham 量子古典的極限において、どのような可積分系が生じるか？
• RQ5 これらの場の理論は、2+1次元および3+1次元において、非局所的Euler-Arnoldトップをどのように導出するか？

主な発見

• 1+1次元のPainlevé VI 場の理論では、方程式の4つの定数が動的場に置き換えられ、非自己同型ハミルトニアン方程式が得られる。
• ゼロモードへの還元により、SL(N,C) のモノドロミー保存方程式が得られ、N=2 の場合に標準的なPainlevé VI 方程式が再現される。
• ループ群自己同型に基づく理論は、非局所的構造を有する1+1次元場の理論方程式を生成する。
• 非可換トーラス自己同型群は、非局所性を示す2+1次元の場の理論を生成する。
• 三角関数的、有理的、スケーリングの極限により、異なる種類の非局所的可積分場の理論方程式の族が得られる。
• Whitham 量子古典的極限により、2+1次元および3+1次元の非局所的可積分系が得られ、Euler-Arnoldトップの一般化が得られる。