[論文レビュー] Parallel tractor extension and ambient metrics of holonomy split G_2

C. Robin Graham, Travis Willse|arXiv (Cornell University)|Sep 15, 2011

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 28被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、5次元多様体上の実解析的で一般の2次元平面場にアンビエント計量構成を適用することで、符号型(3,4)のリッチ平坦計量が得られ、そのホロノミー群が分割実形式$G_2$に含まれることを確立している。さらに、Weyl-Cotton写像$L_x$と4次形式不変量$A$の2点での非退化性条件が満たされれば、ホロノミー群が$G_2$に等しくなることを証明しており、従来の明示的構成を広範な幾何構造のクラスへ一般化している。

ABSTRACT

The holonomy of the ambient metrics of Nurowski's conformal structures associated to generic real-analytic 2-plane fields on 5-manifolds is investigated. It is shown that the holonomy is always contained in the split real form G_2 of the exceptional Lie group, and is equal to G_2 for an open dense set of 2-plane fields given by explicit conditions. In particular, this gives an infinite-dimensional family of metrics of holonomy equal to split G_2. These results generalize work of Leistner-Nurowski. The inclusion of the holonomy in G_2 is established by proving an ambient extension theorem for parallel tractors for conformal structures in general signature and dimension, which is expected to be of independent interest. Parallel extension beyond the critical order in even dimensions is considered in certain cases.

研究の動機と目的

• 実解析的で一般の2次元平面場の8パラメータ族に限らない、すべての5次元多様体上の実解析的で一般の2次元平面場へ、ホロノミー群の包含関係$\operatorname{Hol}(\widetilde{g}) \subset G_2$を拡張すること。
• アンビエント計量$\widetilde{g}$のフル$G_2$ホロノミー群を保証する十分な局所的条件を同定すること。
• 特に、Weyl-Cotton写像$L_x$のランクとCartan不変量$A$の3-非退化性という幾何的条件が、$\operatorname{Hol}(\widetilde{g}) = G_2$を保証することを特徴づけること。
• これらの条件が局所的2次元平面場の空間において一般的であることを示し、実解析的カテゴリーにおいて$G_2$ホロノミー群が広く存在することを確認すること。

提案手法

• Fefferman-Grahamのアンビエント計量構成を用い、一般の2次元平面場$\mathcal{D}$に付随する符号型(2,3)の実解析的共形構造を、$\mathbb{R}_+ \times M \times \mathbb{R}$上にリッチ平坦計量$\widetilde{g}$（符号型(3,4)）へ上昇させる。
• Cartanの等価法とノーマルCartan接続を適用し、共形構造のWeylテンソルとCottonテンソルをCartanのスカラー不変量$A, B, C, D, E$で表現する。
• 線形写像$L_x: T_xM \times \mathbb{R} \to \otimes^3 T_x^*M$を$L_x(v,\lambda) = W_{ijkl}v^i + C_{jkl}\lambda$により定義し、そのランクが共形不変量であり、非退化性条件として用いる。
• 対称4次形式$A \in S^4\mathcal{D}^*$に対する3-非退化性条件を定義する。これは、すべての$Y \in \mathcal{D}_x$に対して$A(Y,X,X,X) = 0$を満たす非ゼロ$X \in \mathcal{D}_x$が存在しないこととして定義される。
• ノーマルCartan接続と曲率成分$\Omega_{ijkl}$を用い、WeylテンソルとCottonテンソルを不変量で明示的に表現する。$W_{ijkl} = \Omega_{ijkl} \circ \sigma$および$C_{jkl} = \Omega_{jkl} \circ \sigma$を示す。
• $SL(2,\mathbb{R})$-表現の分解を用い、Weylテンソル空間の15次元部分空間（一般の2次元平面場に対応）を特定し、その中で$S^4$成分を$A$と特定する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 5次元多様体上の任意の実解析的で一般の2次元平面場のアンビエント計量が、ホロノミー群を$G_2$に含むか。
• RQ2 WeylテンソルとCottonテンソルの局所的幾何的条件として、アンビエント計量がフル$G_2$ホロノミー群を持つために必要な条件は何か。
• RQ3 $L_x$が単射（ランク6）であるという条件が、実解析的2次元平面場において一般的か。
• RQ4 一般の2次元平面場において、点でのCartan不変量$A$の3-非退化性は一般的か。
• RQ5 Cartan不変量$A, B, C, D, E$は$SL(2,\mathbb{R})$作用の下でどのように分解され、WeylテンソルとCottonテンソルに対応する成分はどれか。

主な発見

• 任意の5次元多様体上の実解析的で一般の2次元平面場$\mathcal{D}$に付随するアンビエント計量$\widetilde{g}$は、$\operatorname{Hol}(\widetilde{g}) \subset G_2$を満たす。これはLeistner-Nurowskiの結果を明示的族を超えて拡張する。
• ある点$x \in M$で写像$L_x$のランクが6（つまり単射）であり、ある点$y \in M$で4次形式$A_y$が3-非退化であるならば、$\operatorname{Hol}(\widetilde{g}) = G_2$である。
• $L_x$のランクが6未満である、または$A_x$が3-退化である2次元平面場の集合は、ジャンスペース内の真の代数的部分多様体に含まれるため、$G_2$ホロノミー群の条件は一般的である。
• $F_{qq} \neq 0$を満たす正規形$\mathcal{D} = \operatorname{span}\{\partial_q, \partial_x + p\partial_y + q\partial_p + F\partial_z\}$において、WeylテンソルとCottonテンソルの成分は、それぞれ$F$およびその6階および7階までの微分の有理関数として表される。
• Weylテンソル成分$W_{ijkl}$とCottonテンソル成分$C_{jkl}$は、ノーマルCartan接続の曲率成分$\Omega_{ijkl}$と$\Omega_{jkl}$を用いて明示的に表現され、$W_{ijkl} = \Omega_{ijkl} \circ \sigma$および$C_{jkl} = \Omega_{jkl} \circ \sigma$が成り立つ。
• Cartan不変量$A$は対称的であり、$SL(2,\mathbb{R})$作用の下でWeylテンソル空間の$S^4$成分に一致する。$A$の3-非退化性は、$L_x$の単射性と併せて、フル$G_2$ホロノミー群を保証する必要十分条件である。