[論文レビュー] Pathwise Uniform Convergence of Time Discretisation Schemes for SPDEs

Katharina Klioba, Mark Veraar|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2023

Numerical methods for differential equations参考文献 59被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、非放物型（双曲型）作用素と加法的・乗法的ガウスノイズを伴う半線形確率的偏微分方程式（SPDE）における時間離散化スキームについて、パスワイズ一様収束速度の最適性を確立する。ヒルベルト空間 $X$ と $Y$ を用いたカト型設定により、一様強い誤差 $\mathbb{E}\left[\sup_{j}\|U(t_j)-U^j\|^{p}\right]^{1/p}$ のバウンドを導出し、加法的ノイズ付き線形方程式では $\lesssim k\log(T/k)$、乗法的ノイズ付き非線形方程式では合同性半群下で $\lesssim \sqrt{k}\log(T/k)$ の収束率を達成。指数型オイラー法を用いる場合、(準)合同性 $S$ の下で対数因子を除去可能。結果はマクスウェル方程式、シュレーディンガー方程式、波動方程式に関する先行研究を統合・拡張する。

ABSTRACT

In this paper, we prove convergence rates for time discretisation schemes for semi-linear stochastic evolution equations with additive or multiplicative Gaussian noise, where the leading operator $A$ is the generator of a strongly continuous semigroup $S$ on a Hilbert space $X$, and the focus is on non-parabolic problems. The main results are optimal bounds for the uniform strong error $$\mathrm{E}_{k}^{\infty} := \Big(\mathbb{E} \sup_{j\in \{0, \ldots, N_k\}} \|U(t_j) - U^j\|^p\Big)^{1/p},$$ where $p \in [2,\infty)$, $U$ is the mild solution, $U^j$ is obtained from a time discretisation scheme, $k$ is the step size, and $N_k = T/k$. The usual schemes such as the exponential Euler, the implicit Euler, and the Crank-Nicolson method, etc. are included as special cases. Under conditions on the nonlinearity and the noise, we show - $\mathrm{E}_{k}^{\infty}\lesssim k \sqrt{\log(T/k)}$ (linear equation, additive noise, general $S$); - $\mathrm{E}_{k}^{\infty}\lesssim \sqrt{k} \sqrt{\log(T/k)}$ (nonlinear equation, multiplicative noise, contractive $S$); - $\mathrm{E}_{k}^{\infty}\lesssim k \sqrt{\log(T/k)}$ (nonlinear wave equation, multiplicative noise) for a large class of time discretisation schemes. The logarithmic factor can be removed if the exponential Euler method is used with a (quasi)-contractive $S$. The obtained bounds coincide with the optimal bounds for SDEs. Most of the existing literature is concerned with bounds for the simpler pointwise strong error $$\mathrm{E}_k:=\bigg(\sup_{j\in \{0,\ldots,N_k\}}\mathbb{E} \|U(t_j) - U^{j}\|^p\bigg)^{1/p}.$$ Applications to Maxwell equations, Schrödinger equations, and wave equations are included. For these equations, our results improve and reprove several existing results with a unified method and provide the first results known for the implicit Euler and the Crank-Nicolson method.

研究の動機と目的

• 非放物型（双曲型）SPDEにおける時間離散化スキームの最適収束速度を確立すること。
• 文献におけるギャップを埋めるために、点ごとの誤差よりもパスワイズ近似の質をよりよく捉えるパスワイズ一様強い誤差 $\mathbb{E}\left[\sup_j \|U(t_j)-U^j\|^{p}\right]^{1/p}$ に焦点を当てる。
• マクスウェル方程式、シュレーディンガー方程式、波動方程式の文脈で、インプリシット・オイラー、クランク・ニコルソン、指数型オイラースキームに関する既存の結果を統合・拡張すること。
• インプリシット・オイラーおよびクランク・ニコルソンスキームの、パスワイズ一様誤差制御付きの双曲型設定における収束速度を初めて明らかにすること。
• （準）合同性半群下で、指数型オイラー法を用いることで収束バウンドの対数因子を除去または最小化すること。

提案手法

• 2つのヒルベルト空間 $X$ と $Y$（$Y \hookrightarrow X$）を用いたカト型フレームワークを用いて、弱解および非線形項の正則性を導出する。
• 時間離散化スキームは $U^j = R_k U^{j-1} + k R_k F(U^{j-1}) + R_k G(U^{j-1}) \Delta W_j$ として定式化され、$R_k$ は半群 $S(k)$ の近似を表す。
• 主な推定は、確率的最大 $L^p$-正則性、確率的畳み込みバウンド、およびソボレフ埋没を用いて、$Y$-空間内での非線形項 $F$ と $G$ を制御することに依存する。
• 解 $U$ 及びその離散近似 $U^j$ に対する事前バウンドを用い、スキーム $R_k$ の $Y$ 上での合同性および近似次数 $\alpha$ を活用する。
• 指数型オイラー法の精密な解析により、その（準）合同性特性を活かして収束レートの対数因子を除去する。
• 本フレームワークは、$C_0$-半群の生成作用素 $A$ を持つ抽象的SPDEに適用可能であり、適切な $X$、$Y$、$A$ の選択により波動方程式、マクスウェル方程式、シュレーディンガー方程式をカバーする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 加法的または乗法的ノイズを伴う非放物型SPDEにおける時間離散化スキームのパスワイズ一様収束速度の最適値は何か？
• RQ2 特定のスキーム（例：指数型オイラー）が（準）合同性半群下で、収束バウンドの対数因子を除去できるか？
• RQ3 インプリシット・オイラーおよびクランク・ニコルソンスキームの収束速度は、パスワイズ一様誤差制御付きの双曲型設定においてどのように比較されるか？
• RQ4 本結果は、マクスウェル方程式、シュレーディンガー方程式、波動方程式に関する既存の知見をどの程度統合・拡張するか？
• RQ5 パラボリック正則化が存在しない状況において、2つの空間 $X$ と $Y$ を用いたカト型フレームワークが、一様強い誤差に対して鋭いバウンドを導けるか？

主な発見

• 加法的ノイズ付き線形SPDEおよび一般の $C_0$-半群 $S$ の下で、一様強い誤差は $\mathbb{E}\left[\sup_j \|U(t_j)-U^j\|^{p}\right]^{1/p} \lesssim k \log(T/k)$ を満たす。
• 合同性半群 $S$ の下で乗法的ノイズ付き非線形SPDEでは、一様強い誤差は $\lesssim \sqrt{k} \log(T/k)$ でバウンドされる。
• 乗法的ノイズ付き非線形波動方程式では、一様強い誤差は $\lesssim k \log(T/k)$ でバウンドされる。
• 指数型オイラー法を用いる場合、$S$ が（準）合同性を満たすと、対数因子を除去でき、収束率は $\lesssim k$ となる。
• インプリシット・オイラーおよびクランク・ニコルソンスキームでは、それぞれ収束率が $k^{\delta/2}$ および $k^{\min(2\delta/3,1)}$ となる。ここで $\delta \in (1,2]$ はノイズの正則性を制御する。
• 結果は既知のSDEバウンドを回復・改善し、双曲型SPDE設定においてインプリシット・オイラーおよびクランク・ニコルソンスキームのパスワイズ一様収束速度を初めて得た。