[論文レビュー] Periodic Symplectic Cohomologies

Jingyu Zhao|arXiv (Cornell University)|May 8, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 30被引用数 9

ひとこと要約

本稿では、リーマン多様体 $M$ のシンプレクティックコチェイン複体にグッドウィルの周期的循環ホモロジーを適用することで、Liouville領域に対して2つの周期的シンプレクティックコホモロジー理論 $HP^{*}_{S^{1}}(M)$ と $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M)$ を導入する。主な結果は、局所化同型 $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M,\mathbb{Q}) \cong H^{*}(M,\mathbb{Q})((u))$ であり、ジョーンズとペトラックの周期的等変コホモロジー局所化定理のシンプレクティック版を確立する。

ABSTRACT

Goodwillie \cite{Goodwillie} introduced a periodic cyclic homology group associated to a mixed complex. In this paper, we apply this construction to the symplectic cochain complex of a Liouville domain $M$ and obtain two periodic symplectic cohomology theories, denoted as $HP^*_{S^1}(M)$ and $HP^*_{S^1, \mathrm{loc}}(M)$. Our main result is that both cohomology theories are invariant under Liouville isomorphisms and there is a natural isomorphism $HP^*_{S^1, \mathrm{loc}}(M, \mathbb{Q}) \cong H^*(M, \mathbb{Q})((u))$, which can be seen as a localization theorem for $HP^*_{S^1, \mathrm{loc}}(M, \mathbb{Q})$.

研究の動機と目的

• Liouville領域に対して、シンプレクティックコチェイン複体の周期的循環ホモロジーを用いて周期的シンプレクティックコホモロジー理論を定義すること。
• これらの理論がLiouville同型に関して不変であることを確立すること。
• ジョーンズとペトラックの周期的等変コホモロジーにインspiredされた、局所化されたバージョン $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M)$ を構成すること。これは局所化を満たすが、弱ホモトピー不変性は満たさない。
• $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M,\mathbb{Q})$ と形式的べき級数環 $H^{*}(M,\mathbb{Q})((u))$ の間の局所化同型を証明すること。

提案手法

• Liouville領域 $M$ のシンプレクティックコチェイン複体の $S^1$-複体構造に、グッドウィルの周期的循環ホモロジー構成を適用する。
• $HP^{*}_{S^{1}}(M)$ を、その構造が $\infty$-ミックスド複体であることを活用して、シンプレクティックコチェイン複体の周期的循環ホモロジーとして定義する。
• $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M)$ を、ジョーンズとペトラックの局所化された周期的等変コホモロジーにインスパイされた変種として導入し、シンプレクティック設定に適応する。
• 自由ループ空間 $\mathscr{L}\widehat{M}$ 上でのボレル構成とモース理論を用いて、$S^1$-等変シンプレクティックホモロジーをモデル化する。
• 適切なハミルトニアン $H^{i\pi+1}_t$ の系列を用いたテレスコープ構成により、局所化理論を構成し、周期的コホモロジー群の直和極限を取る。
• シンプレクティックコチェイン複体が $S^1$-複体であることに着目し、周期的複体上に微分 $\delta^{S^1}$ を定義し、次数と継続写像の解析によりホモロジーを計算する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 周期的循環ホモロジーをシンプレクティックコチェイン複体に適用することで、Liouville領域の新しい不変量が定義可能か？
• RQ2 周期的シンプレクティックコホモロジーの局所化されたバージョンは、等変トポロジーにおけるそれと同様の局所化性質を満たすか？
• RQ3 局所化された周期的シンプレクティックコホモロジーと形式的べき級数環 $H^{*}(M,\mathbb{Q})((u))$ の間に自然な同型が存在するか？
• RQ4 周期的シンプレクティックコホモロジー理論はLiouville同型に関してどのように振る舞うか？
• RQ5 $T^*Q$ の場合に $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M)$ と自由ループ空間ホモロジーの関係は何か？

主な発見

• $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M,\mathbb{Q}) \cong H^{*}(M,\mathbb{Q})((u))$ は、$\mathbb{Z}/2$-次数付き $\mathbb{Q}((u))$-加群として成り立つ。
• $HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(M)$ は、領域 $M$ のLiouville同型に関して不変である。
• 円環 $A = S^1 \times [1,2]$ に対して、周期的シンプレクティックコホモロジーは $HP^{*}_{S^{1}}(A) = (\mathbb{Z} \oplus \bigoplus_{k\in\mathbb{Z}} \mathbb{Z}/k\mathbb{Z})((u))$ として計算される。
• 直接計算により、$HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(A,\mathbb{Q}) \cong H^{*}(A,\mathbb{Q})((u))$ が確認され、$H^{*}(S^1,\mathbb{Q})((u))$ と一致する。
• 周期的複体上の微分 $\delta^{S^1}$ は、定数ループ $\widehat{\gamma}_0, \widecheck{\gamma}_0$ 上で消え、$k \neq 0$ に対して $\delta^{S^1}(\widehat{\gamma}_k) = ku\widecheck{\gamma}_k$ を満たす。
• テレスコープ構成における高次継続写像 $\kappa_i$ ($i \geq 1$) は消えるため、$HP^{*}_{S^{1},\mathrm{loc}}(A)$ の直和極限計算が簡略化される。