[論文レビュー] Phase Retrieval With One or Two Diffraction Patterns by Alternating Projections of the Null Vector

Pengwen Chen, Albert Fannjiang+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2015

Advanced X-ray Imaging Techniques参考文献 33被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、1つまたは2つのコード付き回折パターンを用いた位相再構成のための並列（PAP）および逐次（SAP）交互射影アルゴリズムを提案する。nullベクトル法を用いて正確な初期化を実現し、鋭いスペクトルギャップ境界を伴う幾何的収束を証明する。Wirtingerフローおよび他の非凸ソルバーと比較して、より高速かつ高精度な再構成を実現し、SAPは収束速度においてPAPを上回る。

ABSTRACT

Two versions of alternating projection (AP), the parallel alternating projection (PAP) and the serial alternating projection (SAP), are proposed to solve phase retrieval with at most two coded diffraction patterns. The proofs of geometric convergence are given with sharp bounds on the rates of convergence in terms of a spectral gap condition. To compensate for the local nature of convergence, the null vector method is proposed for initialization and proved to produce asymptotically accurate initialization for the Gaussian case. Extensive numerical experiments are performed to show that the null vector method produces more accurate initialization than the spectral vector method and that PAP/SAP converge faster to more accurate solutions than other iterative schemes for non-convex optimization such as the Wirtinger flow. Moreover, SAP converges still faster than PAP. In practice AP and the null vector method together produce globally convergent iterates to the true object.

研究の動機と目的

• 1つまたは2つのコード付き回折パターンからの位相再構成の課題に取り組む。ここで位相情報が欠落しており、問題は非凸的である。
• 反復的位相再構成手法の局所的収束制限を克服するため、堅牢な初期化戦略を導入する。
• 収束速度と精度を向上させるために、2つの新規な交互射影スキーム—並列（PAP）および逐次（SAP）—を設計・分析する。
• スペクトルギャップ条件に基づき、鋭い境界を用いた理論的収束保証を確立する。
• 実験的に、本手法がWirtingerフローなどの既存の非凸最適化手法を上回ることを示す。

提案手法

• 強度のみの測定値から物体推定値を反復的に改善するための並列交互射影（PAP）および逐次交互射影（SAP）アルゴリズムを提案する。
• ガウス信号に対して真の物体に漸近的に近づく新しい初期化技術としてのnullベクトル法を導入し、スペクトルベクトル法を上回る性能を示す。
• スペクトルギャップ条件を用いてPAPおよびSAPの幾何的収束を確立し、収束速度の鋭い上界を提供する。
• 交互射影プロセスの初期化にnullベクトルを用いることで、実際の真の解へのグローバル収束を保証する。
• 測定強度制約と測定演算子の核空間の交差を解集合として定式化し、位相再構成問題を可解性問題として定式化する。
• 測定モデルの構造を活用して、測定行列の固有値特性に依存する収束速度を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 適切な初期化を伴う交互射影法は、1つまたは2つの回折パターンでの位相再構成においてグローバル収束を達成できるか？
• RQ2 スペクトルギャップ条件下でPAPとSAPの収束速度を比較すると、どちらのスキームがより速いか？
• RQ3 ガウス信号に対して、nullベクトル法はスペクトルベクトル法よりもより正確な初期化を提供するか？
• RQ4 PAPおよびSAPは、精度および速度の面で、Wirtingerフローなどの既存の非凸ソルバーをどの程度上回るか？
• RQ5 位相再構成の文脈において、これらの交互射影スキームの収束に対する理論的保証をどの程度確立できるか？

主な発見

• nullベクトル法はガウス信号に対して漸近的に正確な初期化を生成し、数値実験でスペクトルベクトル法を著しく上回る性能を示した。
• PAPおよびSAPの両方が、スペクトルギャップ条件に基づく鋭い境界を伴う幾何的収束を示し、予測可能で高速な収束速度を保証した。
• SAPはPAPよりも速く収束し、交互射影フレームワークにおける逐次更新の利点を示した。
• nullベクトル初期化と交互射影スキームの組み合わせにより、真の物体を高精度に回復するグローバル収束する反復計算が実現した。
• 数値結果から、PAPおよびSAPはWirtingerフローおよび他の非凸最適化手法よりも高い解の精度とより速い収束速度を達成した。
• 本手法は、1つまたは2つの回折パターンでのみでも有効であり、測定リソースが限られた応用に適している。