[論文レビュー] Pinning of interfaces in random media

Nicolas Dirr, Patrick Dondl+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 22, 2009

Theoretical and Computational Physics参考文献 5被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、ランダム媒体における曲率駆動界面運動に対して、静的で正の上解の存在を証明し、粘性ダイナミクス下でもピン留めとレート独立型ヒステリシスが生じることを示している。デローニー面と接着技術を用いて上解を構築することで、界面がピン留めされるための有限な臨界力が存在することを確立し、微視的粘性則から巨視的ヒステリシスがどのように生じるかを説明している。

ABSTRACT

For a model for the propagation of a curvature sensitive interface in a time independent random medium, as well as for a linearized version which is commonly referred to as Quenched Edwards-Wilkinson equation, we prove existence of a stationary positive supersolution at non-vanishing applied load. This leads to the emergence of a hysteresis that does not vanish for slow loading, even though the local evolution law is viscous (in particular, the velocity of the interface in the model is linear in the driving force).

研究の動機と目的

• 粘性ダイナミクス下でのランダム媒体内界面発展に対して、定常的で正の上解の存在を確立すること。
• ランダム障害物を伴う粘性的で曲率に敏感な界面モデルから、レート独立型ヒステリシスがどのように生じるかを示すこと。
• 従来の手法が失敗するようなスパarsely分布したランダム環境における解析的ピン留めの課題を解決すること。
• 微視的粘性運動論と巨視的レート独立的挙動との間のギャップを、相転移や塑性変形の文脈で埋めること。

提案手法

• 局所的界面プロファイルに適した一定平均曲率を持つ回転対称デローニー面を用いて上解を構築する。
• 局所的上解と平坦領域を接合するための接着関数を用い、グローバルな上解性を保証する。
• 粘性解理論を用いて、非線形平均曲率作用素に対する上解条件を検証する。
• スケーリング議論を適用し、デローニー面の径方向微分と接着関数の微分が界面で一致するように調整する。
• 障害物の強度、分布、曲率に関する条件を課し、上解が界面発展より下に保たれることを保証する。
• 比較原理を活用して、臨界力未満では界面がピン留めされたままであることを証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 粘性ダイナミクスを伴うランダム媒体内での曲率駆動界面運動に対して、定常的上解が存在可能か？
• RQ2 局所的発展則が粘性的である場合でも、ランダムでスパarsely分布した障害物が存在する中で、ピン留めとヒステリシスは維持されるか？
• RQ3 上解の存在を保証するためには、障害物の分布と強度にどのような条件が必要か？
• RQ4 平均曲率作用素の非線形性をランダム環境でどのように上解構成が扱えるか？
• RQ5 巨視的レート独立的挙動が、微視的粘性運動論から厳密に導けるか？

主な発見

• 障害物の分布と強度に関する適切な条件下では、ランダム媒体内での強制平均曲率流れに対して、定常的で正の上解が存在する。
• 上解はデローニー面と接着関数を用いて構築され、グローバル有効性と粘性解の性質を保証する。
• 剥離に必要な臨界力は有限かつ正であり、局所的ダイナミクスが粘性的であっても成立する。
• 荷重速度が任意に遅くてもヒステリシスが持続することから、巨視的にはレート独立的挙動が確認される。
• n=1の格子障害物の場合にも構成が有効であり、離散的ランダム配置への拡張が可能である。
• 解析により、巨視的レート独立的運動論が、ピン留め機構を通じて微視的粘性則から生じることが確認された。