[論文レビュー] Poisson deformations and Mori dream spaces

Yoshinori Namikawa|arXiv (Cornell University)|May 8, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 9被引用数 7

ひとこと要約

この論文は、$ \mathbb{C}^* $-作用をもつアフィンシンプレクティック多様体 $ X $ のクレパント解体 $ Y \to X $ の第二コホモロジー群 $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ におけるチャネル構造と、$ Y $ のユニバーサルポアソン変形の基底空間との間の深い対応関係を確立する。$ Y $ の変形されたポアソン多様体が非アフィンとなる locus $ D \subset H^2(Y, \mathbb{C}) $ が、異なるクレパント解体のアーモニウス錐によって定義されるチャネル壁とぴったり一致することを示し、モーリー・ドリーム・スペースの幾何的および変形論的視点を統合する。

ABSTRACT

Let \pi: Y -> X be a crepant projective resolution of an affine symplectic variety X with a good C^*-action. We interpret the second cohomology H^2(Y, C) in two ways. First, H^2(Y, C) is the Picard group of Y tensorised with C. By the ample cones of different crepant resolutions of X, there is a natural chamber structure in H^2(Y, C). The second interpretation of H^2(Y, C) is the base space of the universal Poisson deformation $\mathcal Y$ of Y. Let D \subset H^2(Y, C) be the locus where the corresponding Poisson varieties are not affine. Then D is the union of finite number of hyperplanes, which gives a chamber structure in H^2(Y, C). These two chamber structures coincide.

研究の動機と目的

• アフィンシンプレクティック多様体 $ X $ に $ \mathbb{C}^* $-作用をもつクレパント解体の幾何学とその変形論との相乗的関係を理解すること。
• 異なるクレパント解体のアーモニウス錐から生じる $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ のチャネル構造と、$ Y $ のユニバーサルポアソン変形の基底空間から生じるもう一つのチャネル構造を比較すること。
• ポアソン変形における非アフィン性の locus とコホモロジーにおけるウォール・アンド・チャネル構造との正確な対応関係を確立すること。
• ポアソン変形理論を通じて、モーリー・ドリーム・スペース構造の幾何的実現を提供すること。

提案手法

• $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ を $ Y $ の複素化されたピック群と解釈し、その上でラインバンドルとその変形をパラメトライズすること。
• $ X $ における $ \mathbb{C}^* $-作用を用いて、異なるクレパント解体のアーモニウス錐を通じて $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ における自然なチャネル分解を定義すること。
• $ Y $ のユニバーサルポアソン変形 $ \mathcal{Y} $ を構成し、その基底空間が $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ であることを確認し、そのファイバーを分析すること。
• $ \mathcal{Y} $ のファイバーが非アフィンポアソン多様体でない領域 $ D \subset H^2(Y, \mathbb{C}) $ を特定すること。
• $ D $ が有限個の超平面の和集合であることを示し、$ H^2(Y, \mathbb{C}) $ にチャネル構造を形成すること。
• このポアソン理論的チャネル構造が、クレパント解体のアーモニウス錐によって定義されるチャネル構造と完全に一致することを証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 異なるクレパント解体のアーモニウス錐によって定義されるチャネル構造は、$ H^2(Y, \mathbb{C}) $ の幾何学とどのように関係するか？
• RQ2 $ Y $ のユニバーサルポアソン変形のファイバーが非アフィンでない領域が $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ に果たす幾何的意味は何か？
• RQ3 クレパント解体から生じる $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ のチャネル分解は、ポアソン変形理論によって実現可能か？
• RQ4 モーリー・ドリーム・スペース理論のウォール・アンド・チャネル構造と、ポアソン変形モジュライのそれとを自然に同一視できるか？

主な発見

• $ H^2(Y, \mathbb{C}) $ は、$ X $ の異なるクレパント解体のアーモニウス錐から生じるチャネル構造と、$ Y $ のユニバーサルポアソン変形の基底から生じる別のチャネル構造という、二つの異なるチャネル構造を持つ。
• $ D \subset H^2(Y, \mathbb{C}) $ は、ユニバーサル変形におけるポアソン多様体が非アフィンでない領域であり、有限個の超平面の和集合として与えられ、ウォール・アンド・チャネル分解を形成する。
• このポアソン理論的チャネル構造は、$ X $ の異なるクレパント解体のアーモニウス錐によって定義されるチャネル構造と正確に一致する。
• これらの二つのチャネル構造の同一視は、$ X $ のモーリー・ドリーム・スペース構造に対するポアソン変形理論による新たな幾何的解釈を提供する。
• この結果により、$ \mathbb{C}^* $-作用が存在する状況下で、シンプレクティック解体理論とポアソン変形モジュライの間の標準的な関係が確立される。