[論文レビュー] Polyhedral approximations of Riemannian manifolds

Anton Petrunin|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2022

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 8被引用数 12

ひとこと要約

この論文は、リーマン多様体が局所的または大域的に曲率が下からまたは上から有界な多面的計量によってリプシッツ近似可能であるための必要十分条件を確立する。同論文では、共断面曲率（cosectional curvature）の概念を導入し、このような近似が存在するための条件が、$\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}^{m-2}$ の曲率によって生成される特定の凸な $O(m)$-不変錐に、多様体の曲率テンソルが含まれることであることを示している。大域的近似では、位相的条件下で正のマージン $\varepsilon$ が必要となる。

ABSTRACT

We give a condition on the curvature tensors of Riemannian manifolds that admit Lipschitz approximation by polyhedral metrics with curvature bounded below or above. We show that this condition is also sufficient for the existence of local approximations. We conjecture that it is also sufficient for the global approximations and prove it in some special cases.

研究の動機と目的

• 曲率が下からまたは上から有界な多面的計量によって近似可能なリーマン多様体を特徴づけること。
• 多面的曲率テンソルの極限的挙動を捉える新しい曲率条件「共断面曲率」を定義・分析すること。
• 共断面曲率条件が、曲率 $\geqslant \kappa$ の多面的空間による局所的リプシッツ近似において必要であることを証明すること。
• 位相的仮定（例えば、安定的に自明な接バンドル）の下で、この条件が大域的近似において十分であることを確立すること。
• 接バンドルの条件が本質的でないのではという予想を立て、特に球面多様体を含む特殊な場合に大域的結果を証明すること。

提案手法

• 曲率テンソル空間 $\mathrm{A}^4(\mathbb{E}^m)$ における最小の凸的 $O(m)$-不変錐 $\mathcal{S}^*$ を、$\mathbb{S}^2 \times \mathbb{R}^{m-2}$ の曲率テンソルによって生成する。
• 条件 $\mathrm{Rm}_p - \kappa \cdot Q_{\mathbb{S}^m} \in \mathcal{S}^*$ を用いて、共断面曲率 $\mathop{\rm cosec}\nolimits_p(\mathrm{Rm}_p) \geqslant \kappa$ を定義する。
• 外法線のなす角が鈍角となるように、$M$ を $\mathbb{R}^q$ に等長埋め込みし、$q-m$ 個の局所的凸超曲面の共通部分集合として表現する。
• 各凸超曲面を、角条件を保つ多面的凸超曲面で近似し、それらの共通部分集合をとることで、曲率 $\geqslant \kappa$ の多面的計量を得る。
• 特異曲率測度（codimension-2 スケルトンに台を持つ）の弱収束を用いて、近似列の極限曲率テンソルが多様体 $M$ のリーマン曲率テンソルと一致することを示す。
• ペレラの未発表結果（曲率の極限に関するもの）を応用し、GH収束と双リプシッツパラメータ化を用いて、曲率測度の収束を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような曲率条件下で、リーマン多様体が曲率が下から有界な多面的計量によって局所的に近似可能となるか？
• RQ2 共断面曲率条件 $\mathop{\rm cosec}\nolimits M \geqslant \kappa + \varepsilon$ は、$\kappa$-多面的計量による大域的リプシッツ近似に十分か？
• RQ3 大域的近似において、安定的に自明な接バンドルの仮定はどの程度本質的か？
• RQ4 接バンドル条件を満たさない多様体（例：$\mathbb{C}\mathrm{P}^2$）に対しても、大域的近似結果を拡張できるか？
• RQ5 多面的空間の曲率はなぜ codimension-2 スケルトンに集中するのか？ そして、これは極限曲率テンソルにどのように影響するか？

主な発見

• 局所的結果では、リーマン多様体 $M$ が $\kappa$-多面的空間のリプシッツ極限であるならば、$\mathop{\rm cosec}\nolimits M \geqslant \kappa$ であることが示された。
• 逆に、$\mathop{\rm cosec}\nolimits M \geqslant \kappa + \varepsilon$（$\varepsilon > 0$）ならば、$M$ の任意の点は、曲率 $\geqslant \kappa$ の $\kappa$-多面的空間のリプシッツ極限である近傍をもつ。
• 大域的状況では、$M$ が単連結で、$\mathop{\rm cosec}\nolimits M \geqslant \kappa + \varepsilon$ かつ $M$ が安定的に自明な接バンドルをもつならば、$M$ は曲率 $\geqslant \kappa$ の $\kappa$-多面的計量による大域的リプシッツ近似をもつ。
• 完全なリーマン $m$-多様体が球面多面的計量（曲率 $\geqslant 1$）によるリプシッツ近似をもつための必要十分条件は、$\mathop{\rm cosec}\nolimits M \geqslant 1$ である。
• 多面的空間の特異曲率テンソルは、その codimension-2 スケルトンに台を持ち、ハウスドルフ測度と全角欠損を用いて定義される。ここに標準的な双ベクトル場 $\alpha = dx \wedge dy$（ノルムが 1）が関与する。
• 近似される多面的空間の特異曲率測度が、極限多様体のリーマン曲率テンソルに弱収束することを確立し、曲率極限の一貫性を確認した。