[論文レビュー] Polyhedral Voronoi Cells

Ina Kirsten Voigt, Stephan Weis|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2010

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ひとこと要約

本稿は、ユークリッド空間内の離散的点集合に対する多面体ボロノイ胞への特徴付けを、生成子によって形成される方向錐の有限生成性と関連付けることで確立する。単位球面に関する反転と半無限大線形計画法の双対性を用いて、ボロノイ胞が多面体であるための必要十分条件を示し、離散的状況では凸逆数の閉包が多面体であること、特に多面体に還元されることを示す。

ABSTRACT

Voronoi cells of a discrete set in Euclidean space are known as generalized polyhedra. We identify polyhedral cells of a discrete set through a direction cone. For an arbitrary set we distinguish polyhedral from non-polyhedral cells using inversion at a sphere and a theorem of semi-infinite linear programming.

研究の動機と目的

• 離散的点集合のボロノイ胞が多面体であるための必要十分条件を特定すること。
• 一般化された多面体ボロノイ胞が実際に多面体となる幾何的・代数的条件を明確化すること。
• 反転を介してボロノイ胞の構造と生成子の凸逆数の間に双対性を確立すること。
• 特に離散的設定において、ボロノイ胞の多面体性と方向錐の有限生成性を結びつけること。

提案手法

• 生成子集合を単位球面に関する反転で変換し、非有界方向の解析を可能にする。
• 凸逆数を、反転された集合と原点の凸包として定義し、$\mathcal{C} = \mathop{\mathrm{conv}}\nolimits(\mathop{\mathrm{inv}}\nolimits(\mathcal{P} \setminus \{0_n\}) \cup \{0_n\})$ と表記する。
• 半無限大線形計画法（GobernaとLópez）の定理を用いて、ボロノイ胞 $\mathcal{V}$ の多面体性と $\overline{\mathcal{C}}$ の多面体性を関連付ける。
• ボロノイ胞 $\mathcal{V}$ が多面体であるための必要十分条件が $\overline{\mathcal{C}}$ が多面体であることであることを示し、$\mathcal{P}$ が離散的である場合には $\mathcal{C}$ が多面体に簡略化されることを示す。
• ボロノイ胞 $\mathcal{V}$ の再発錐を $\mathop{\mathrm{conv}}\nolimits(\mathcal{P})$ の原点における法錐に結びつけ、$\mathop{\mathrm{rec}}\nolimits(\mathcal{V}) = N(\mathop{\mathrm{conv}}\nolimits(\mathcal{P}), 0_n)$ を示す。
• 双対性を用いて方向錐 $\mathcal{D} = \mathop{\mathrm{pos}}\nolimits(\mathcal{P})$ を法錐に結びつけ、$\mathcal{D}^* = N(\mathcal{C}, 0_n)$ を示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散的点集合のボロノイ胞が多面体であるのはどのような条件下か？
• RQ2 方向錐 $\mathcal{D} = \mathop{\mathrm{pos}}\nolimits(\mathcal{P})$ の構造がボロノイ胞の多面体性をどのように決定するか？
• RQ3 凸逆数 $\mathcal{C}$ は、多面体ボロノイ胞を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ4 ボロノイ胞が有界であるのはいつか？ これは原点が $\mathop{\mathrm{conv}}\nolimits(\mathcal{P})$ の内部にあることとどのように関係するか？
• RQ5 単位球面に関する反転は、ボロノイ胞に関連する半無限大線形計画法の解析をどのように支援するか？

主な発見

• ボロノイ胞 $\mathcal{V}$ が多面体であるための必要十分条件は、凸逆数の閉包 $\overline{\mathcal{C}}$ が多面体であることである。
• 生成子 $\mathcal{P}$ が離散的である場合、ボロノイ胞 $\mathcal{V}$ が多面体であるための必要十分条件は $\mathcal{C}$ が多面体であることである。
• ボロノイ胞 $\mathcal{V}$ の再発錐は、$\mathop{\mathrm{conv}}\nolimits(\mathcal{P})$ の原点における法錐に等しく、これは方向錐の極 $\mathcal{D}^*$ とも等しい。
• ボロノイ胞 $\mathcal{V}$ が有界であるための必要十分条件は、$0_n$ が $\mathop{\mathrm{conv}}\nolimits(\mathcal{P})$ の内部にあることであり、これは $\mathcal{D} = \mathbb{E}^n$ と同値である。
• 方向錐 $\mathcal{D}$ が有限生成であるための必要十分条件は $\mathcal{V}$ が多面体であることであるが、この同値性は生成子が離散的であるという仮定のもとでのみ成立する。
• 閉包 $\overline{\mathcal{D}} = \mathbb{E}^n$ が成り立つための必要十分条件は $\mathcal{V}$ が有界であることであり、これは $0_n \in \mathop{\mathrm{conv}}\nolimits(\mathcal{P})^\circ$ と同値である。