[論文レビュー] The Smallest Shape Spaces. III. Triangles in 2- and 3-d

Edward Anderson|arXiv (Cornell University)|Nov 28, 2017

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ひとこと要約

本稿は、質量加重ヤコビ座標、ホップファイブレーション、形状空間理論を用いて、2次元および3次元における三角形の包括的な幾何学的・位相的枠組みを構築する。ヘロンの公式の新バージョンを導出し、直角三角形を形状球面上の3つの互いに接するキャップ円周として特定するとともに、ランダムな三角形が鈍角である確率が正確に 3/4 であることを証明する。さらに、3次元における最大角の流れや、分層されたバンドル構造への一般化も含む。

ABSTRACT

This is an innovative treatise on triangles, resting upon 1) 3-body problem techniques including mass-weighted relative Jacobi coordinates. 2) Part I's detailed layer-by-layer topological and geometrical study of Kendall-type shape spaces - configuration spaces of all possible shapes - which, for triangles, are (pieces of) spheres. 3) Hopf mathematics. Triangles are moreover prototypical through being the smallest models which carry relative-angle as well as length-ratio information. Both 1) and 3) produce insightful new versions of Heron's formula, 3)'s simultaneously providing new foundations for 2). Medians, and regular triangles bounding between tall and flat triangles, also play prominent roles. Right triangles form three kissing cap-circles on the shape sphere, from which a shape-theoretic answer to the well-known conundrum of what is the probability that a triangle is obtuse very readily follows: 3/4. The differential-geometric aspects of this answer moreover generalize to numerous variant problems. Hopf mathematics additionally gives a general bundle section interpretation to Kendall's iconic spherical blackboard of vertex-unlablelled mirror-image-identified triangles, and of its two variants where one of these two conditions are dropped. We attribute a monopole to each of these spaces and to the full shape sphere, one due to Dirac, one to Iwai and the other two are new to this paper. We finally make insightful comparison of triangles in 2-$d$ with a) Part II's 4 points on the line. b) Triangles in 3-$d$, which are particularly significant as the smallest model exhibiting stratification. Stratified manifold-sheaf pairs - sheaves adding useful local and global structure to general bundles - lie at the heart of Shape Theory's future development.

研究の動機と目的

• 3体問題および形状理論の技術を用いて、2次元および3次元における三角形の形状空間の基礎的幾何学的・位相的取り扱いを確立すること。
• ケンダールの球面形状空間（ケンダールの黒板）を鏡像同定と粒子の区別不能性を組み込むことで拡張し、新たな商空間を導出すること。
• 形状球面上における直角三角形の微分幾何的特徴付けを行い、鈍角三角形の確率が 3/4 であることを導出すること。
• 3次元における三角形は、自明でない安定化群を有するため、標準的なファイバー束を越えて、分層多様体-シャーフペアを必要とすることを示すこと。
• 形状理論の概念をモノポール構造（ディラック型、イワイ型、および新規のもの）と統合し、構成空間の位相幾何学に応用すること。

提案手法

• 3体問題の質量加重相対ヤコビ座標を用いて、2次元および3次元における三角形の配置をパrametrizeする。
• ホップファイブレーションを用いて、形状球面をU(1)主束として解釈し、形状空間位相の幾何的取り扱いを可能にする。
• 配置空間の商として形状球面を構成し、それが2次元球面またはその商（例えば、RP²、レンズ、二等辺三角形）として特定されることを示す。
• 直角三角形を、形状球面上の3つの互いに接するキャップ円周として特徴付け、内部が鈍角三角形に対応することを示す。
• 形状球面上の最大角の流れを導入し、鈍角の確率を任意の最大角に一般化する。
• シャーフおよび一般化されたバンドル理論を用いて、3次元三角形配置空間における分層を扱い、回転群SO(3)が同一直線上の配置に対して一様に作用しないことに対応する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ランダムな三角形が鈍角である確率は何か？ これは形状球面からの幾何的導出によってどのように得られるか？
• RQ2 特に分層構造に関して、2次元と3次元における三角形の形状空間の位相的・幾何学的構造はどのように異なるか？
• RQ3 中線、面積、周囲長は、形状球面の微分幾何学においてどのような役割を果たすか？
• RQ4 鏡像同定および区別不能性の同定を伴う形状空間の解釈・分類に、ホップファイブレーションおよびモノポール構造をどのように応用できるか？
• RQ5 3次元における三角形配置は、なぜ標準的なファイバー束を超えて、シャーフ理論的または一般化されたバンドルの取り扱いを必要とするのか？

主な発見

• ランダムな三角形が鈍角である確率は正確に 3/4 であり、これは鈍角三角形が形状球面上の3つの互いに接するキャップ円周の内部を占めることに起因する。
• 直角三角形は、形状球面上で互いに2点ずつ接する3つのキャップ円周として幾何的に実現され、対称的な配置を形成する。
• 2次元における3点の形状空間は位相的に2次元球面であり、鏡像同定と完全同定を施した商は、RP²、レンズ、および二等辺球面三角形（ライプニッツ空間）を生成する。
• 3次元では、同一直線上の配置では安定化群がSO(2)、非同一直線上ではSO(3)であるため、配置空間に分層構造が現れ、シャーフまたは一般化されたバンドル構造が必要となる。
• 本稿では3つのモノポール構造を導入する：1つはディラック型、1つはイワイ型、残り2つは新規のもので、それぞれ3つの形状空間商（全球面、鏡像同定、完全同定）に対応する。
• 形状理論的技術を用いてヘロンの公式の新バージョンを導出し、長さ比と相対角を組み合わせた形で、古典的結果を拡張する。