[論文レビュー] Preparation of matrix product states with log-depth quantum circuits

Daniel Malz, Georgios Styliaris+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 4, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、ロジック深さの量子回路を用いて、並進不変な行列積状態（MPS）を最適に準備する量子回路プロトコルを提示する。レノルミゼーション・グループ（RG）変換と等長回路を活用することで、通常のMPSでは深さT = O(log(N/ϵ))、測定を用いる場合ではT = O(log log(N/ϵ))を達成し、深さT = Ω(log N)の下界を証明し、ユニタリおよび測定支援プロトコルの両方において漸近的最適性を示した。

ABSTRACT

We consider the preparation of matrix product states (MPS) on quantum devices via quantum circuits of local gates. We first prove that faithfully preparing translation-invariant normal MPS of $N$ sites requires a circuit depth $T=Ω(\log N)$. We then introduce an algorithm based on the renormalization-group transformation to prepare normal MPS with an error $ε$ in depth $T=O(\log (N/ε))$, which is optimal. We also show that measurement and feedback leads to an exponential speedup of the algorithm, to $T=O(\log\log (N/ε))$. Measurements also allow one to prepare arbitrary translation-invariant MPS, including long-range non-normal ones, in the same depth. Finally, the algorithm naturally extends to inhomogeneous MPS.

研究の動機と目的

• 並進不変な通常の行列積状態（MPS）を準備するために必要な回路深さのタイトな下界を確立すること。
• 局所的ゲートのみを用いて、この下界を満たす量子回路プロトコルを開発すること。
• 測定とフィードバックを用いて、非一様および非通常MPSに対してもプロトコルを拡張すること。
• 測定支援回路が、任意の並進不変MPSの指数的高速な準備を達成できることを示すこと。

提案手法

• 反復的レノルミゼーション・グループ（RG）変換を用いて、サイトをブロック化し、最近隣接するもつれしか持たない固定点状態に収束させる。
• MPSの局所的構造を符号化する等長写像を構築し、深さO(log(N/ϵ))の厳密に局所的な量子回路で実装可能であることを証明する。
• 環境演算子の特異値分解を用いた局所的バリエーショナルアルゴリズムにより、等長写像を最適化し、目的状態との忠実度を最大化する。
• 測定とフィードバックを統合することで、固定点状態と等長写像を定数深さで実装し、指数的高速化を実現する。
• 非一様MPSにプロトコルを拡張する際には、同様のRGおよび等長写像構築法を局所的正規形に適用する。
• ゲートトランスポートを用いて、測定ベースのスキームにおいて非局所的等長写像を効率的に実装する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所的量子ゲートを用いて、並進不変な通常の行列積状態（MPS）を忠実に準備するために必要な最小回路深さは何か？
• RQ2 局所的ゲートのみを用いて、通常のMPSを深さO(log(N/ϵ))で準備できるか？ そして、この深さは最適か？
• RQ3 測定とフィードバックへのアクセスが、通常および非通常MPSの準備における回路深さに与える影響は何か？
• RQ4 提案されたプロトコルを短距離相関を持つ非一様MPSに一般化できるか？

主な発見

• 本稿では、局所的量子回路を用いて並進不変な通常のMPSを準備するにあたり、深さT = Ω(log N)の下界を確立し、対数的深さが必須であることを証明した。
• 明示的な量子回路構成により、通常のMPSが局所的ゲートのみを用いて深さT = O(log(N/ϵ))で準備可能であり、下界を満たすことで、漸近的最適性を示した。
• 測定とフィードバックを用いることで、回路深さはT = O(log log(N/ϵ))にまで低下し、任意の並進不変MPS（長距離相関を持つものも含む）の指数的高速な準備が可能になった。
• 短距離相関を持つ非一様MPSに対しても、局所的バリエーショナル最適化による等長写像の最適化を維持することで、効率的な深さスケーリングを保つ自然な拡張が可能である。
• 有限範囲のMERAが、O(log log(N/ϵ))段階で通常の並進不変MPSを近似できることを示し、MERAとMPS準備の間の新しい関係を確立した。
• 数値的結果により、ブロッキング範囲とともに誤差が指数的減衰することが確認され、RGに基づく近似と等長写像構築の効率性が裏付けられた。