[論文レビュー] Probabilistic interpretation for solutions of fully Nonlinear Stochastic PDEs

Anis Matoussi, Dylan Possamaï+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 78被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、生成子にリプシッツ条件を課したもとで、2階後向き双方向確率微分方程式（2BDSDEs）の適切な定式化理論を確立し、解の存在および一意性を証明する。2BDSDEのマルコフ解を用いて、完全非線形確率偏微分方程式（SPDEs）の古典的および確率的バナチ解に対する確率的解釈を提供し、非線形フェインマン＝カープの公式を完全非線形設定へと拡張する。

ABSTRACT

In this article, we propose a wellposedness theory for a class of second order backward doubly stochastic differential equation (2BDSDE). We prove existence and uniqueness of the solution under a Lipschitz type assumption on the generator, and we investigate the links between our 2BDSDEs and a class of parabolic fully nonLinear Stochastic PDes. Precisely, we show that the Markovian solution of 2BDSDEs provide a probabilistic interpretation of the classical and stochastic viscosity solution of fully nonlinear SPDEs.

研究の動機と目的

• 第二階後向き双方向確率微分方程式（2BDSDEs）のクラスに対する適切な定式化理論の構築を目的とする。
• 2BDSDEsと放物型完全非線形確率偏微分方程式（SPDEs）との間の関係を確立すること。
• 完全非線形SPDEsの古典的および確率的バナチ解に対する確率的表現を提供すること。
• 2BDSDEsを用いて非線形フェインマン＝カープの公式を完全非線形ケースへと拡張すること。
• 完全非線形SPDEsに対するバナチ解の定義および解法という長年の課題に取り組むこと。

提案手法

• 生成子がリプシッツ条件を満たす第二階後向き双方向確率微分方程式（2BDSDEs）のクラスを定式化する。
• バナッハの収縮写像定理を用いた固定点法により、2BDSDEsの解の存在および一意性を証明する。
• スネルの包絡線およびオプションタルサンプリング定理を適用して、解過程を右連続左極限を持つ下界マルティンググレと特徴付ける。
• 伊藤のマルティンググレ表現定理を用いて、解を予測可能過程 $ Z $ および制御過程 $ K $ の形で表現する。
• パルデュとペンの枠組みに整合する、$ \overleftarrow{W}_t $ に関する後向き確率積分に依存する。
• 2BDSDEsのマルコフ解が関連するSPDEの確率的バナチ解に対応することを示すことにより、2BDSDEsとSPDEsとの間の関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成子にリプシッツ条件を課したもとで、第二階後向き双方向確率微分方程式（2BDSDEs）の適切な定式化理論を構築できるか？
• RQ2 2BDSDEの解が、完全非線形SPDEsの古典的および確率的バナチ解に対する確率的解釈を提供するか？
• RQ3 非線形フェインマン＝カープの公式を完全非線形SPDE設定へとどのように拡張できるか？
• RQ4 後向き確率積分 $ \int g \cdot d\overleftarrow{W}_t $ は、完全非線形SPDEsの解を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ5 解過程の性質（例：右連続左極限、逐次可測、$ \mathcal{F}_t $-適応）は、確率的設定におけるバナチ解概念とどのように関連するか？

主な発見

• 生成子にリプシッツ条件を課したもとで、バナッハの固定点定理を用いて2BDSDEに一意解が存在することが証明された。
• 解過程 $ Y $ は $ \mathbb{G} $-逐次可測、右連続左極限、かつ $ \mathbb{D}^2(\mathbb{P}) $ に属するため、正則性および可積分性が保証された。
• 過程 $ \bar{Y}_\cdot + \int_0^\cdot f(s)ds $ は右連続左極限の下界マルティンググレであり、その極限が解過程 $ Y $ に一致する。これは必要な動的計画法的条件を満たす。
• 解 $ Y $ は方程式 $ Y_t = \text{ess sup}_{\tau \geq t} \mathbb{E}\left[ \int_t^\tau f(s)ds + \bar{S}_\tau \mathbf{1}_{\{\tau < T\}} + \bar{\xi} \mathbf{1}_{\{\tau = T\}} \middle| \mathcal{G}_t \right] - \int_0^t g(s) \cdot d\overleftarrow{W}_s $ を満たし、動的特徴付けが確認された。
• マルティンググレ成分を表す過程 $ Z $ は $ \mathcal{F}_t $-可測であるため、フィルトレーションに適合し、一貫性が保証された。
• 正規直交条件 $ \int_0^T (Y_s - S_s) dK^c_s = 0 $ が満たされることにより、局所時間 $ K^c $ の最小制御性が確認された。