[論文レビュー] Probing holography in $p$-adic CFT

Stephen Ebert, Hao-Yu Sun+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2019

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ひとこと要約

本稿は、ブルハット＝ティツツリーおよびp進BTZブラックホールを背景とするp進CFTにおいて、ホログラフィックに分配関数と1ループWitten図を計算し、ラプラシアンの新規スペクトル分解を導入し、逆ラプラス変換により状態密度を導出する。また、重い-重い-軽い3点関数係数に制約を課し、p進CFTのヒルベルト空間におけるグローバルコンフォーマル群の表現を分析する。

ABSTRACT

We holographically calculate the partition functions of certain types of isotropic sectors of the CFTs dual to Bruhat-Tits trees and $p$-adic BTZ black holes. Along the way, we propose new spectral decompositions of the Laplacian operator other than the plane-wave basis on these two types of background, with both analytical and numerical evidence. We extract the density of states and hence entropy from the BTZ partition function via the inverse Laplace transform. Then the one-loop Witten diagram is computed in the $p$-adic BTZ black hole background, yielding constraints on the heavy-heavy-light averaged three-point coefficient of its boundary $p$-adic CFT. Finally, for general $p$-adic CFTs (not necessarily holographic), we analyze the representation theory of their global conformal group $PGL\left(2,\mathbb{Q}_p ight)$, and discuss the suitability of different representations as Hilbert spaces of $p$-adic CFT.

研究の動機と目的

• ブルハット＝ティツツリーおよびp進BTZブラックホールを背景として、p進CFTのホログラフィック枠組みを確立すること。
• これらの背景に双対するp進CFTの等方的セクターの分配関数を計算し、エントロピーを含む熱力学的量を抽出すること。
• p進BTZ背景における1ループWitten図の計算を通じて、重い-重い-軽い3点関数係数に制約を課すこと。
• p進CFTにおけるヒルベルト空間を定義するのに適した、$PGL(2,\mathbb{Q}_p)$のグローバルコンフォーマル群の表現理論を分析すること。

提案手法

• ブルハット＝ティツツリーおよびp進BTZブラックホールに双対するp進CFTの等方的セクターの分配関数をホログラフィックに計算する。
• 解析的および数値的証拠を用いて、これらの背景上でのラプラシアン作用素の新規スペクトル分解を提案する。
• 逆ラプラス変換を用いて、BTZ分配関数から状態密度およびエントロピーを抽出する。
• p進BTZブラックホール背景における1ループWitten図を計算し、重いオペレーターの平均化された3点関数係数に制約を課す。
• $PGL(2,\mathbb{Q}_p)$の表現理論を分析し、p進CFTのヒルベルト空間としての候補となるユニタリ表現を同定する。
• $GL(2,\mathbb{Q}_p)$の超臨界表現を、特に深さゼロの場合について、コンパクト誘導を用いて構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ブルハット＝ティツツリーおよびp進BTZブラックホール背景において、p進CFTの等方的セクターの分配関数をどのようにホログラフィックに計算できるか？
• RQ2 p進対称空間上でのラプラシアンのどのスペクトル分解が、ボリューム場のスペクトルに関する新たな知見をもたらすか？
• RQ3 BTZ分配関数の逆ラプラス変換は、p進設定において状態密度およびエントロピーをどのように得るか？
• RQ4 p進BTZ背景における1ループWitten図は、重い-重い-軽い3点関数係数にどのような制約を課えるか？
• RQ5 $PGL(2,\mathbb{Q}_p)$のどのユニタリ表現がp進CFTのヒルベルト空間として適しているか？また、それらは超臨界表現とどのように関係するか？

主な発見

• p進BTZブラックホールの分配関数は、Bekenstein-Hawkingの面積則を満たし、ホログラフィックエントロピーのスケーリングを確認する。
• 分配関数の逆ラプラス変換を用いて状態密度が抽出され、3次元重力と整合するスペクトルが得られる。
• 非回転p進BTZブラックホールにおいて、$r_+$が大きいとき、分配関数は$e^{4k\pi r_{+}}$に漸近し、古典的エントロピーと一致する。
• $r_+$が小さいとき、分配関数は$r_+ e^{(4k - 1/6)\pi r_+}$の形をとり、ドレッドフェルトのエータ関数の漸近展開から導出される。
• p進BTZ背景における1ループWitten図の計算により、重いオペレーターの平均化された3点関数係数に制約が得られる。
• 本稿では、$SL(2,\mathbb{Q}_p)$に対して$p(p-1)/2$個の異なる超臨界表現が同定され、$p=2$の場合は一意の表現が、$S_3$からのコンパクト誘導によって構成される。