[論文レビュー] Zappa-Szep products of semigroups and their C*-algebras

Nathan Brownlowe, Jacqui Ramagge+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2013

semigroups and automata theory参考文献 23被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、Liの半群C*-代数構成を用いて、半群のZappa-Szép積からC*-代数を構成する統一的な枠組みを提案する。全C*-代数および境界商C*-代数の明示的生成子と関係式の提示を行い、既知のクラス（準ラティス順序群、自己同型群作用、Baumslag-Solitar群など）が特殊ケースとして現れることを示す。主な貢献は、Cuntz-Pimsner代数とNicaのC*-代数を1つの代数的構造に統一する一般化である。

ABSTRACT

Zappa-Szép products of semigroups encompass both the self-similar group actions of Nekrashevych and the quasi-lattice-ordered groups of Nica. We use Li's construction of semigroup $C^*$-algebras to associate a $C^*$-algebra to Zappa-Szép products and give an explicit presentation of the algebra. We then define a quotient $C^*$-algebra that generalises the Cuntz-Pimsner algebras for self-similar actions. We indicate how known examples, previously viewed as distinct classes, fit into our unifying framework. We specifically discuss the Baumslag-Solitar groups, the binary adding machine, the semigroup $\mathbb{N} times\mathbb{N}^ imes$, and the $ax+b$-semigroup $\mathbb{Z} times\mathbb{Z}^ imes$.

研究の動機と目的

• 準ラティス順序群および自己同型群作用から得られる多様なC*-代数クラスを、1つの枠組みに統一すること。
• 単位元をもつ左消去性半群のZappa-Szép積へのLiの半群C*-代数構成の拡張。
• 自己同型作用のためのCuntz-Pimsner代数を一般化する境界商C*-代数の定義と解析。
• 全C*-代数およびその境界商に対して、明示的な生成子と関係式の提示により、取り扱いやすさを向上させること。

提案手法

• 左消去性で単位元をもつ2つの半群のZappa-Szép積を構成し、その結果得られる半群が左消去性かつ右LCMであることを保証する。
• Liの構成を用いて、右イデアルに添え字が付いた等長表現と射影を用いて、Zappa-Szép積に全C*-代数を関連付ける。
• 半群内のフォーメーション集合に関連する射影によって生成されるイデアルによる商を導入し、境界商C*-代数を定義する。
• 普遍関係を確認することで、得られたC*-代数と既知の代数（例：Cuntz-Pimsner代数、NicaのC*(G,P)）との同型を確立する。
• フォーメーション集合の性質と帰納法を用いて、商代数における特定の射影の積が消えることを証明し、境界商の同定を可能にする。
• 明示的な準同型と全射性の議論により、既知の代数（例：Q2、O(G,X)）の普遍関係が、構成されたC*-代数の関係と一致することを検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Zappa-Szép積の半群は、準ラティス順序群や自己同型群作用から得られる多様なC*-代数構成を統一する枠組みとして機能するか？
• RQ2 Liの半群C*-代数構成は、Zappa-Szép積にどのように適応され、明示的な提示を持つ全C*-代数を生成するか？
• RQ3 この文脈における境界商C*-代数の構造は何か？ また、Cuntz-Pimsner代数とはどのように関係するか？
• RQ4 2進数体環C*-代数Q2 やCuntz-Pimsner代数O(G,X) といった既知の例が、Zappa-Szép積の全C*-代数の商として自然に現れるか？
• RQ5 この枠組みは自己同型作用の積へ拡張可能か？ また、その場合、単純性などの性質をどのように導出できるか？

主な発見

• 左消去性半群のZappa-Szép積の全C*-代数は、Liの構成を一般化した形で、生成子と関係式による明示的提示が可能である。
• 境界商C*-代数は、任意の自己同型群作用(G,X)に対してCuntz-Pimsner代数O(G,X)に同型であり、このクラスの代数を統一する。
• 2進数体環C*-代数Q2 は、X={0,1} および加算マシンN からなるZappa-Szép積X* ✨ N の境界商に同型である。
• 半群N ✨ N* に対して、全C*-代数はNicaのC*(BS(1,2), BS(1,2)+)に同型であり、境界商はCuntz-Pimsner代数O(Z,X)に同型である。
• この枠組みは自己同型作用の積へ一般化可能である：半群F+_θ が右LCMであるとき、C*-代数C*(F+_θ ✨ G) は、自己同型関係を満たすToeplitz-Cuntz-Krieger族およびユニタリ表現の普遍的性質を持つ。
• 境界商とO(G,X)との同型の証明は、1 - ∑x∈X vtxv*x によって生成されるイデアルが、フォーメーション集合上の射影の積(1 - t_w t*_w)によって生成されるイデアルに一致することを、語長に関する帰納法で示すことにより行われる。