[論文レビュー] Punctured logarithmic maps

Dan Abramovich, Qile Chen+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 52被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、境界除集合との間の負の接触順序を許容する、安定対数的マップの一般化であるパッチド対数的マップを導入する。対数的グロモフ＝ウィッテン理論をこれらのマップを含むように拡張することで、著者たちはトロピカル幾何学を用いたグリューリング形式主義を構築し、ターゲットを拡張せずに安定対数的マップおよびその仮想サイクルを再構成可能にする。この形式主義は、ミラー対称性およびシンプレクティックコホホロジーへの応用を可能にする。

ABSTRACT

We introduce a variant of stable logarithmic maps, which we call punctured logarithmic maps. They allow an extension of logarithmic Gromov-Witten theory in which marked points have a negative order of tangency with boundary divisors. As a main application we develop a gluing formalism which reconstructs stable logarithmic maps and their virtual cycles without expansions of the target, with tropical geometry providing the underlying combinatorics. Punctured Gromov-Witten invariants also play a pivotal role in the intrinsic construction of mirror partners by the last two authors in arXiv:1909.07649, conjecturally relating to symplectic cohomology, and in the logarithmic gauged linear sigma model in upcoming work of the second author with Felix Janda and Yongbin Ruan.

研究の動機と目的

• 境界除集合との間の負の接触順序を含むように、対数的グロモフ＝ウィッテン理論を拡張すること。これは、崩壊やグリューリングの状況で自然に生じる。
• ターゲットの拡張を回避するグリューリング形式主義を、トロピカル幾何学を基盤とする組合せ論を用いて、安定対数的マップのための開発すること。
• 特にウォール構造とシンプレクティックコホホロジーの文脈において、内在的ミラー対称性の構成の基盤を提供すること。
• パッチドグロモフ＝ウィッテン不変量を、ミラー崩壊およびシンプレクティックコホホロジーにおける構造係数として確立すること。
• 正および負の接触順序を併用するパッチド不変量を組み込むことで、内在的ミラー構成プログラムを一般化すること。

提案手法

• 境界除集合との間の負の接触順序を許容する、安定対数的マップの変種としてパッチド対数的マップを導入すること。
• 理想化された対数的構造を用いてパッチドマップを定義し、接触順序およびグリューリングデータをトロピカル幾何学を用いて解釈すること。
• トロピカル型を用いてパッチドマップのモジュライスタックを構成し、コンパクト性および評価条件を確立して固有性を示すこと。
• 点条件を伴うパッチドマップに対する完全な障害理論を構築し、仮想サイクルおよびパッチドグロモフ＝ウィッテン不変量を導出すること。
• 評価スタックおよび仮想サイクルのグリューリングを用いて、パッチド成分から安定対数的マップを再構成するグリューリング形式主義を確立すること。
• この形式主義を用いて、ミラー構成における乗法的構造の結合性を証明し、パッチド不変量とシンプレクティックコホホロジーとの関係を明らかにすること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのようにして、境界除集合との間の負の接触順序を含むように、対数的グロモフ＝ウィッテン理論を拡張できるか？
• RQ2 トロピカル幾何学は、パッチドマップおよびそのグリューリングの組合せ論的構造をどのように記述するか？
• RQ3 パッチドグロモフ＝ウィッテン不変量は、内在的ミラー対称性プログラムにおけるミラー崩壊を構成するためにどのように用いられるか？
• RQ4 ターゲットを拡張せずに、パッチドマップが安定対数的マップのための一貫性のあるグリューリング形式主義を提供できるか？
• RQ5 パッチド不変量は、ミラー対称性におけるウォール構造およびシンプレクティックコホホロジーとどのように関係するか？

主な発見

• パッチド対数的マップは負の接触順序を許容し、標準的枠組みを超えて対数的グロモフ＝ウィッテン理論を自然に拡張可能にする。
• グリューリング形式主義は、ターゲットの拡張を伴わず、トロピカルデータを組合せ論的基盤として用いて、安定対数的マップおよびその仮想サイクルを再構成可能である。
• パッチドグロモフ＝ウィッテン不変量は、ミラー崩壊における構造係数として機能し、結合性を保証するには2つの正の接触順序と1つの負の接触順序が必要である。
• この形式主義は、内在的ミラー対称性構成における乗法的構造の結合性を証明する上で、重要な要素を提供する。
• これらの技術は、内在的ミラー対称性の枠組みにおいて一貫性のあるウォール構造を構築するために不可欠であり、[GHS] を通じて以前の構成と結びつける。
• パッチド不変量は、シンプレクティックコホホロジーと予想的に関係しており、これらの不変量を代数的幾何学的手段で計算する道筋を提供する。