[論文レビュー] Quadratization in discrete optimization and quantum mechanics

Nike Dattani|arXiv (Cornell University)|Jan 14, 2019

Computability, Logic, AI Algorithms参考文献 63被引用数 15

ひとこと要約

このオープンアクセスの書籍は、量子アニーリングやユニバーサルな断熱的量子計算に不可欠な、高次元の離散最適化問題を二次形式に変換する40以上の四乗化手法を包括的にレビューしている。本稿は、ゼロ補助変数、単一項、複数項の還元に分類される技術を体系的に提示し、任意の次数$k$の擬似ブール関数が最小限の補助変数を用いて等価な二次ハミルトニアンに写像可能であることを示しており、量子的または古典的ソルバーによる効率的な解法を可能にする。

ABSTRACT

A book about turning high-degree optimization problems into quadratic optimization problems that maintain the same global minimum (ground state). This book explores quadratizations for pseudo-Boolean optimization, perturbative gadgets used in QMA completeness theorems, and also non-perturbative k-local to 2-local transformations used for quantum mechanics, quantum annealing and universal adiabatic quantum computing. The book contains ~70 different Hamiltonian transformations, each of them on a separate page, where the cost (in number of auxiliary binary variables or auxiliary qubits, or number of sub-modular terms, or in graph connectivity, etc.), pros, cons, examples, and references are given. One can therefore look up a quadratization appropriate for the specific term(s) that need to be quadratized, much like using an integral table to look up the integral that needs to be done. This book is therefore useful for writing compilers to transform general optimization problems, into a form that quantum annealing or universal adiabatic quantum computing hardware requires; or for transforming quantum chemistry problems written in the Jordan-Wigner or Bravyi-Kitaev form, into a form where all multi-qubit interactions become 2-qubit pairwise interactions, without changing the desired ground state. Applications cited include computer vision problems (e.g. image de-noising, un-blurring, etc.), number theory (e.g. integer factoring), graph theory (e.g. Ramsey number determination), and quantum chemistry. The book is open source, and anyone can make modifications here: https://github.com/HPQC-LABS/Book_About_Quadratization.

研究の動機と目的

• 古典的離散最適化および量子計算に適用可能な、統一的かつオープンソースの四乗化手法の参照資料を提供すること。
• 高次多項式最適化問題を解く挑戦に応えるために、それらを量子アニーリングや古典的ソルバーに適した二次形式に還元すること。
• 補助変数の使用、対称性、正負の項や複数項への適用可能性に基づいて、40以上の四乗化手法を分類・比較すること。
• 特に対称的および部分線形関数に対して、四乗化スキームの下界と最適性基準を確立すること。
• 補助変数の数を最小限に抑えつつ基底状態の等価性を保ちながら、量子ハードウェア（例：D-Wave）やユニバーサル量子計算への実装を支援すること。

提案手法

• 四乗化手法を5つの主要カテゴリに分類：ゼロ補助変数還元、単一項還元（正と負）、対称的複数項還元、任意関数還元、摂動的ガジェット。
• グレブナー基底、ELC（正確線形化条件）、および帰納還元（Deduc-reduc）などの代数的技法を用い、補助変数を導入せずに高次項を除去する。
• NTR（負項還元）およびPTR（正項還元）スキーム（例：NTR-KZFD、NTR-ABCG、PTR-BCR）を含む補助変数に基づく還元法を適用し、三次以上の項を二次形式に変換する。
• 共通する補助変数を用いて複数の項を同時に四乗化する対称関数還元（SFR）および任意関数還元（例：FGBZ、ペアワイズカバー）を導入する。
• 有効なハミルトニアンを低エネルギー部分空間で使用することで、高次相互作用を二次ハミルトニアンに埋め込むための摂動的および非摂動的ガジェット（例：P(3→2)-DC、NP-Nagaj）を活用する。
• 三値変数から二値変数への変換および回路レベルのマッピングを用い、超伝導キュービットアーキテクチャへの実装を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 補助変数を最小限に抑えて、擬似ブール関数内の単一の負または正の高次項を四乗化する最も効率的な方法は何か？
• RQ2 対称的複数項還元は、複数の高次項を持つ関数に対して、最適または近似的に最適な補助変数数を達成できるか？
• RQ3 補助変数の数、計算複雑性、および量子アニーリングハードウェアへの適用可能性という観点から、異なる四乗化手法はどのように比較できるか？
• RQ4 任意関数（特にd-部分線形関数およびZUC（ゼロ効用制約）関数）の四乗化に必要な補助変数の理論的下界は何か？
• RQ5 摂動的ガジェットまたは非摂動的ガジェットは、ユニバーサルな断熱的量子計算において、二次ハミルトニアンに高次相互作用を模倣できる程度はどの程度か？

主な発見

• Deduc-ReducおよびSplit-Reduc手法は補助変数を一切導入せずに四乗化を達成し、特定の関数クラスに対して最適である。
• NTR-ABCGおよびPTR-BCRの還元ファミリーは、最小限の補助キュービットを用いて単一の正または負の三次項を四乗化する体系的かつスケーラブルな手法を提供する。
• 対称関数還元（SFR）およびペアワイズカバー法は、複数の項が共通する変数を持つ場合に補助変数の数を顕著に削減し、近似的に最適なスケーリングを達成する。
• SFRおよびd-部分線形関数の下界は、一部の還元が理論的に最適であることを示しており、Boros、Crama、Rodríguez-Heckは特定の関数クラスに対してタイトな下界を確立した。
• P(3→2)-DCおよびPSD-OTなどの摂動的ガジェットは、エネルギー準位の分裂を介して三次以上相互作用を二次ハミルトニアンに埋め込むことで、ユニバーサル量子計算を可能にする。
• 本書は、任意の次数$k$の関数が、補助変数の数が有界である二次形式に写像可能であり、基底状態を保ちながら、量子的または古典的二次ソルバーによる解法が可能であることを示している。