[論文レビュー] Quantum Coding with Entanglement

Mark M. Wilde|arXiv (Cornell University)|Jun 25, 2008

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 79被引用数 29

ひとこと要約

本稿は、もつれ支援量子誤り訂正の包括的な理論を提示し、量子ブロック符号の効率的符号化・復号アルゴリズムを提案するとともに、有限および無限深さのクリフォード操作を用いたもつれ支援量子畳み込み符号の開発を画期的に前進させた。主な貢献は、共有もつれ（ebits）を最適に活用する統一的フレームワークを提供し、ノイズの多い量子通信および計算環境におけるコードレートの向上と耐障害性能の向上を実現した。

ABSTRACT

Quantum error-correcting codes will be the ultimate enabler of a future quantum computing or quantum communication device. This theory forms the cornerstone of practical quantum information theory. We provide several contributions to the theory of quantum error correction--mainly to the theory of "entanglement-assisted" quantum error correction where the sender and receiver share entanglement in the form of entangled bits (ebits) before quantum communication begins. Our first contribution is an algorithm for encoding and decoding an entanglement-assisted quantum block code. We then give several formulas that determine the optimal number of ebits for an entanglement-assisted code. The major contribution of this thesis is the development of the theory of entanglement-assisted quantum convolutional coding. A convolutional code is one that has memory and acts on an incoming stream of qubits. We explicitly show how to encode and decode a stream of information qubits with the help of ancilla qubits and ebits. Our entanglement-assisted convolutional codes include those with a Calderbank-Shor-Steane structure and those with a more general structure. We then formulate convolutional protocols that correct errors in noisy entanglement. Our final contribution is a unification of the theory of quantum error correction--these unified convolutional codes exploit all of the known resources for quantum redundancy.

研究の動機と目的

• 事前に共有されたもつれ（ebits）を活用することでコード性能を向上させる、もつれ支援量子誤り訂正の体系的理論の構築。
• 安定化子形式とシンプレクティック幾何学を用いて、もつれ支援量子ブロック符号の効率的符号化・復号アルゴリズムの設計。
• 与えられた符号に対して必要な最小 ebits 数を決定する最適な公式の確立により、リソース効率を最大化。
• 理論を量子畳み込み符号へと拡張し、ストリーミング量子情報における連続的誤り訂正を可能にする。
• もつれ、アシスタントキュービット、古典的冗長性といった既存の量子誤り訂正リソースを統合し、包括的なフレームワークとしての統一を図る。

提案手法

• 有限体 GF(2) 上の古典的線形代数に量子誤り訂正を写像するために、安定化子形式とパウリ演算子からバイナリへの同型写像を用いる。
• 論理的演算子を特徴づけ、もつれ要件を決定するためにシンプレクティック積行列を導入する。
• 物理的実装可能性を保証するため、有限深さのクリフォード回路を用いた符号化・復号の実装を開発する。
• 畳み込み符号における最適なコードレートと誤り訂正を達成するために、無限深さのクリフォード操作を適用する。
• カルダー・ショア・シュテン（CSS）構成をもつれ支援設定に拡張し、自己双対的および対称的符号設計を可能にする。
• ノイズのあるもつれにおける誤りを訂正する畳み込みプロトコルを提案し、実用的量子通信における耐障害性を確保する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 共有もつれをどのように最適に活用すれば、量子誤り訂正符号に必要な ebits 数を削減できるか？
• RQ2 与えられたもつれ支援量子ブロック符号に対して、必要な最小 ebits 数は何か？ そして、これを効率的に計算する方法は？
• RQ3 ストリーミング量子データにおける連続的誤り訂正を可能にするために、もつれ支援の畳み込み量子符号を構築可能か？
• RQ4 無限深さのクリフォード操作を実際のシステムでどのように実装すれば、もつれ支援畳み込み符号で最適な性能を達成できるか？
• RQ5 もつれ、アシスタントキュービット、古典的パリティといった既知のすべての量子冗長リソースを統合する統一フレームワークを構築可能か？

主な発見

• 本稿は、もつれ支援量子符号に必要な最適な ebits 数を明示的に導出し、リソースの過剰な負荷を最小限に抑える。
• 有限深さのクリフォード回路を用いたもつれ支援量子ブロック符号の符号化・復号のための効率的アルゴリズムが提示された。
• 有限および無限深さの符号化回路を用いたもつれ支援量子畳み込み符号が構築され、連続的誤り訂正が可能となった。
• 理論は、もつれ支援畳み込み符号が、CSS および一般安定化子構造からの既存のすべての冗長リソースを活用できることを示し、既存のアプローチを統一した。
• ノイズのあるもつれにおける誤り訂正が可能となり、実用的量子通信における耐障害性が向上した。
• 結果として、ebits が利用可能な状況では、標準の安定化子符号よりも高いコードレートと優れた誤り訂正性能を達成できることを示した。