[論文レビュー] Quantum wave representation of dissipative fluids

Luca Salasnich, Sauro Succi+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 10, 2023

Advanced Thermodynamics and Statistical MechanicsPhysics and Astronomy参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、シュレーディンガー方程式の非線形ポテンシャルを変更することで、非圧縮性の散逸的流体の新しい量子波動表現を提案する。具体的には、ボームの量子ポテンシャルと位相場のラプラシアンを含めた非線形ポテンシャルに修正することで、得られる方程式は正確にナビエ＝ストークス方程式に一致し、古典的粘性流体の量子シミュレーションを可能にするとともに、流体力学における量子アルゴリズムのフレームワークを提供する。

ABSTRACT

We present a mapping between a Schrödinger equation with a shifted non-linear potential and the Navier-Stokes equation. Following a generalization of the Madelung transformations, we show that the inclusion of the Bohm quantum potential plus the laplacian of the phase field in the non-linear term leads to continuity and momentum equations for a dissipative incompressible Navier-Stokes fluid. An alternative solution, built using a complex quantum diffusion, is also discussed. The present models may capture dissipative effects in quantum fluids, such as Bose-Einstein condensates, as well as facilitate the formulation of quantum algorithms for classical dissipative fluids.

研究の動機と目的

• 非圧縮性散逸的流体のナビエ＝ストークス方程式と、修正されたシュレーディンガー方程式との間の形式的対応を確立すること。
• マデルング形式を、量子ポテンシャルと位相のラプラシアンを組み込んだシフトされた非線形ポテンシャルを介して、粘性（散逸的）効果を含めるように拡張すること。
• 極性子コンデンエートのような系に適した、複素量子拡散係数を用いた代替形式の導出。
• 特に量子コンputingへの応用を念頭に、量子力学的形式を用いた古典的非圧縮性流体の量子シミュレーションを可能にすること。
• 量子渦と粘性の両方を捉える統一的単一流体モデルを提供すること。これは、超流動体およびボーズ＝アインシュタイン凝縮体に関連する。

提案手法

• 波動関数をエイコナル形式 ψ = R e^{is} で表現することで、標準的シュレーディンガー方程式からマデルング方程式を導出する。
• V = U + W(|ψ|²) + Q + ∇²s というシフトされた非線形ポテンシャルを導入し、Q はボームの量子ポテンシャル、∇²s は粘性散逸を表す。
• 修正されたシュレーディンガー方程式から導かれる連続の式と運動量方程式が、∇²s に比例する粘性を持つ非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式を正確に再現することを示す。
• 複素量子拡散係数 D = D_real + iD_imag を用いた代替的手法を定式化し、ナビエ＝ストークス力学を模倣する複素量子拡散方程式を導出する。
• 複素拡散係数形式では、形式的ユニタリティを保つために虚数の擬似ポテンシャルが必要であるが、物理的量子性は回復しないこと。
• 渦度の役割を分析し、位相特異点から渦が生じることを示す。これは、非回転流でも成立するが、古典的渦度を記述するには追加のベクトル場が必要である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 シュレーディンガー方程式における非線形ポテンシャルを修正することで、マデルング形式を非圧縮性流体における粘性散逸に一般化できるか？
• RQ2 非線形ポテンシャルに位相場のラプラシアン ∇²s を組み込むことで、ナビエ＝ストークス方程式の粘性項がどのように再現されるか？
• RQ3 ボームの量子ポテンシャルと位相のラプラシアンが、量子波動枠組み内での散逸的流体力学を生成する役割を果たすのはどのような仕組みか？
• RQ4 複素量子拡散係数を用いて古典的ナビエ＝ストークス力学をモデル化できるか？このアプローチの制限は何か？
• RQ5 この量子波動表現が、量子コンピュータ上で古典的非圧縮性流体をどの程度まで量子シミュレーション可能にするか？

主な発見

• 非線形ポテンシャルをシフトさせた修正シュレーディンガー方程式 V = U + W(|ψ|²) + Q + ∇²s は、非圧縮性ナビエ＝ストークス方程式と等価な運動方程式を導く。
• ナビエ＝ストークス方程式の粘性項は、位相場のラプラシアン ∇²s から自然に生じ、運動量方程式における散逸的寄与として機能する。
• 量子ポテンシャル Q と ∇²s が併せて、連続の式と運動量方程式がナビエ＝ストークス形式に一致することを保証する。これは、標準的マデルング像において流速が非回転的であるにもかかわらず成立する。
• 波動関数の位相特異点から渦が生じ、超流動体における量子渦を模倣するが、基本的な定式化では古典的渦度が存在しない。
• 複素拡散係数アプローチは散逸の代替ルートを提供するが、虚数の擬似ポテンシャルを導入しない限りユニタリティが破れる。この擬似ポテンシャルは物理的量子性を回復しない。
• この枠組みは、特に量子アルゴリズムや極性子コンデンエートのような系に適した、古典的非圧縮性流体の量子シミュレーションの有望な道筋を提供する。