[論文レビュー] Quasistatic crack growth in finite elasticity

Gianni Dal Maso, Gilles A. Francfort+1 more|ArXiv.org|Jan 16, 2004

Composite Material MechanicsEngineering参考文献 23被引用数 16

ひとこと要約

本稿は、エネルギー最小化に基づく変分モデルを用いて、n次元有限弾性における準静的き裂成長の存在を確立する。き裂経路はエネルギーバランスから自然に導かれる。主な貢献は、任意の n ≥ 1 および一般の不均質・異方性材料に対して、時間に依存する境界条件および擬凸な体積エネルギーのもとで、最小エネルギー状態の不逆的時間発展の厳密な存在結果を示したことにある。

ABSTRACT

In this paper, we prove a new existence result for a variational model of crack growth in brittle materials proposed in [15]. We consider the case of $n$-dimensional finite elasticity, for an arbitrary $n\ge1$, with a quasiconvex bulk energy and with prescribed boundary deformations and applied loads, both depending on time.

研究の動機と目的

• エネルギーバランスに従う破壊的材料における準静的き裂成長の厳密な数学的枠組みの確立。
• 一般の擬凸体積エネルギーをもつn次元有限弾性へのき裂伝播の変分モデルの拡張。
• 時間に依存する境界条件および外力のもとで、最小エネルギー状態の不逆的準静的時間発展の存在の証明。
• 位置および法線方向に依存するき裂表面エネルギー密度を許容することにより、一般の不均質・異方性材料の取り扱い。
• 不連続変形および時間的に変化するき裂に適したGSBV空間における関数的設定の構築。

提案手法

• 跳躍集合がcodimension-one集合上に存在する変形をモデル化するため、一般化有界 variation 関数空間（GSBV）において問題を定式化する。
• 全エネルギーを弾性エネルギー、き裂表面エネルギー、および外力がする負の仕事の和として定義する。き裂表面エネルギーは、異方的かつ不均質な密度 κ を持つき裂上での積分として与えられる。
• 貯蔵エネルギー関数 W(x,ξ) の擬凸性を用いて、弾性エネルギー汎関数の下半連続性を保証する。
• 時間に依存する境界条件および外力を、特定の正則性および成長条件を満たす仕事汎関数 F(t,x,u) および G(t,x,u) を持つ保存力としてモデル化する。
• 適切な配置を、変形 u の跳躍集合 S(u) が Γ に含まれ、かつ ∂DΩ \ Γ で時間に依存するディリクレ境界値を満たすようなペア (u, Γ) として定義する。
• 最小エネルギー状態を、より大きなき裂および適合する変形の全範囲で全エネルギーを最小化するものとして定義し、グリフィスの基準によるエネルギーバランスを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の擬凸エネルギーおよび時間に依存する外力のもとで、n次元有限弾性における変分的準静的き裂成長の厳密な確立は可能か？
• RQ2 事前に指定しないで、エネルギー最小化によってき裂経路を内因的にどのように決定できるか？
• RQ3 有限弾性における不連続変形および時間的に変化するき裂を扱うのに適した関数解析的枠組みは何か？
• RQ4 エネルギー密度および外力にどのような条件下で、最小エネルギー状態の不逆的準静的時間発展が存在するか？
• RQ5 位置および方向に依存するき裂表面エネルギーを用いることで、不均質・異方性材料をどのようにモデルに組み込むことができるか？

主な発見

• 本稿は、任意の n ≥ 1 に対して、n次元有限弾性における最小エネルギー状態の不逆的準静的時間発展の存在を証明した。
• 存在結果は、一般の仮定のもとで成立する：体積エネルギー W(x,ξ) の擬凸性、および外力およびき裂表面エネルギー κ に対する適切な成長および正則性条件。
• き裂経路は事前に指定されておらず、解の一部として自然に導かれる。き裂集合 Γ(t) は、(n−1)次元ハウスドルフ測度が有限である rectifiable 集合として時間的に変化する。
• 位置 x および法線 νΓ(x) に依存するき裂表面エネルギー関数を許容することにより、不均質・異方性材料の取り扱いが可能である。
• GSBV(Ω;ℝⁿ) における関数的設定により、変形がほとんど everywhere で定義され、跳躍集合が時間的に変化するき裂に含まれることが保証される。
• 時間に依存する境界条件および保存力（体力および表面力）のもとで、存在結果は安定である。外力がする仕事は、適切な正則性を満たす領域および境界上での積分としてモデル化される。