[論文レビュー] Quaternionic Monge-Ampere equation and Calabi problem for HKT-manifolds

Semyon Alesker, Misha Verbitsky|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 17被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、HKT接続を備えたコンpaktoなハイパーカンフォーマル多様体上で、クaternion的カルビ問題の類似形であるクォータニオン的モンジュ＝アンプère方程式を導入する。解の定数を除く一意性と零次項の事前推定を、Obata接続のホロノミーが $SL(n,\mathbb{H})$ に含まれる条件下で確立し、カルビ＝ヤウ定理と類似した存在の予想を提示する。

ABSTRACT

A quaternionic version of the Calabi problem on Monge-Ampere equation is introduced. It is a quaternionic Monge-Ampere equation on a compact hypercomplex manifold with an HKT-metric. The equation is non-linear elliptic of second order. For a hypercomplex manifold with holonomy in SL(n;H), uniqueness (up to a constant) of a solution is proven, as well as the zero order a priori estimate. The existence of solution is conjectured, similar to Calabi-Yau theorem. We reformulate this quaternionic equation as a special case of a complex Hessian equation, making sense on any complex manifold.

研究の動機と目的

• HKT多様体に対するカルビ問題のクォータニオン的類似形を定式化すること。これは複素カルビ＝ヤウ定理に類似する。
• コンパクトなハイパーカンフォーマル多様体上でのクォータニオン的モンジュ＝アンプère作用素を含む非線形楕円型第二階微分方程式の可解性を研究すること。
• ホロノミー条件 $\mathrm{Hol}(\nabla_{\mathrm{Obata}}) \subset SL(n,\mathbb{H})$ の下で、解の定数を除く一意性と零次項の事前推定を確立すること。
• クォータニオン的方程式を、任意の複素多様体上で有効な複素ヘッシアン方程式の特別な場合として再定式化すること。

提案手法

• クォータニオン的モンジュ＝アンプère方程式を $(\Omega + \partial\partial_J\varphi)^n = e^f \Omega^n$ として定義する。ここで $\Omega$ はHKT形式で、$\varphi$ は実数値の滑らかな関数である。
• 演算子 $R$ と $V$ を用いて、クォータニオン構造を複素多様体 $(M,I)$ 上の複素ドレオール微分計算に関連付ける。
• クォータニオン的方程式を複素多様体 $(M,I)$ 上の複素ヘッシアン方程式に再定式化し、複素幾何的技法の適用を可能にする。
• 修正されたヤウ型の議論を用いて、$L^p$-ノルムと多様体上のソボレフ不等式を用いて零次項の事前推定を証明する。
• $\int_M \varphi \cdot \Omega^n \wedge \overline{\Theta} = 0$ の正規化のもとで、$\varphi$ 及びその勾配の $L^p$-バウンドを確立し、ラプラシアンのスペクトルギャップを活用する。
• モーザー反復法と補間技法を適用し、$p \to \infty$ のときの $L^p$-バウンドから一様 $C^0$-バウンド $||\varphi||_{C^0}$ を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ホロノミーが $SL(n,\mathbb{H})$ に含まれるコンパクトなハイパーカンフォーマル多様体にHKT計量を備えた場合、クォータニオン的モンジュ＝アンプère方程式 $(\Omega + \partial\partial_J\varphi)^n = e^f \Omega^n$ は滑らかな解をもつか？
• RQ2 クォータニオン的モンジュ＝アンプäre方程式の解は、どのような条件下で定数を除いて一意的か？
• RQ3 正規化のもとで、$f \in C^0(M)$ のとき、零次項の事前推定 $||\varphi||_{C^0} \leq C$ が確立可能か？
• RQ4 クォータニオン的モンジュ＝アンプère方程式は、どのようにして複素多様体上の複素ヘッシアン方程式に再定式化できるか？

主な発見

• ホロノミー条件 $\mathrm{Hol}(\nabla_{\mathrm{Obata}}) \subset SL(n,\mathbb{H})$ の下で、クォータニオン的モンジュ＝アンプère方程式の解は定数を除き一意的であることが証明された。
• 正規化 $\int_M \varphi \cdot \Omega^n \wedge \overline{\Theta} = 0$ のもとで、解に対して零次項の事前推定 $||\varphi||_{C^0} \leq C$ が成り立つ。ここで $C$ は $M$, $\Omega$, および $||f||_{C^0}$ のみに依存する。
• すべての $p \geq 2$ に対して、$||\varphi||_{L^p} \leq Q_1 (C_3 p)^{-2n/p}$ を満たす。定数は $M$, $g_0$, および $||f||_{C^0}$ のみに依存する。
• $\varphi$ 及び $\nabla\varphi$ の $L^p$-バウンドは、ソボレフ不等式およびピカール型不等式を用いて、ラプラシアンのスペクトルギャップを活用することで確立された。
• $C^0$-バウンドは極限 $||\varphi||_{C^0} = \lim_{p \to \infty} ||\varphi||_{L^p} \leq Q_1$ として得られ、一様有界性が確認された。
• クォータニオン的モンジュ＝アンプère方程式は、複素多様体 $(M,I)$ 上の複素ヘッシアン方程式に再定式化され、一般の複素多様体への適用可能性が拡張された。