[論文レビュー] Rényi Entropy for the $\sun1$ WZW model on the torus

Howard J. Schnitzer|arXiv (Cornell University)|Oct 20, 2015

Quantum many-body systems参考文献 28被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、有限温度におけるトーラス上の $\r{SU}(N)_1$ ワイス＝ツミノ＝ワッテン（WZW）模型に対して、n枚の分岐リーマン面を用いたレプリカトリックスにより、Rényi エントロピーを計算する。Rényi エントロピーはレプリカトリックスにより導出され、低温度および区間サイズの極限において普遍的であることが示されるが、Riemann-Siegel シータ関数のおかげで $n\to1$ への解析接続に失敗し、エンタングルメントエントロピーの抽出が不可能である。

ABSTRACT

The $\sun1$ WZW model is constructed on a n-sheeted branched torus, which allows the investigation of the Rényi entropy for a single interval at finite temperature. The small and large interval limits, as well as the low temperature expansion are presented for this theory.

研究の動機と目的

• トーラス上での有限温度における $\r{SU}(N)_1$ WZW模型のRényi エントロピーを計算すること。
• Rényi エントロピーの小および大区間極限、および低温度領域における挙動を調査すること。
• Riemann-Siegel シータ関数の影響により、$n\to1$ への解析接続が妨げられる理由と、エンタングルメントエントロピーに与える影響を明らかにすること。
• 今後の研究の基盤を築くこと。特に、Bose-Fermi双対性およびこの模型におけるRényi エントロピーのトポロジカルなホログラフィック双対性の研究に向けた基盤を提供すること。

提案手法

• n枚の分岐トーラス上に $\r{SU}(N)_1$ WZW模型を構築し、レプリカトリックスを用いる。このとき、分割関数 $Z_n$ はn枚の分岐リーマン面上に定義される。
• 重み格子とカルタン行列に基づくボソン的表現を用い、計量 $g_{ij}$ と反対称テンソル $b_{ij}$ を含む作用を用いる。
• $Z_n = Z_{n,\text{classical}} Z_{n,\text{quantum}}$ の古典的および量子的寄与を計算し、$Z_{n,\text{classical}} \propto |\Theta(0|i\Omega)|^2$ となることを示す。
• シータ関数の漸近展開を用いて、Rényi エントロピーの小および大区間極限を導出する。
• $\beta$ を逆温度として、$Z_n$ を $e^{-\pi\beta}$ のべき級数に応じて低温度展開する。
• Rényi エントロピーを $S_n = -\frac{1}{n-1}\log\left(\frac{Z_n}{Z_1^n}\right)$ を用いて抽出し、極限における主要項に焦点を当てる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 トーラス上での $\r{SU}(N)_1$ WZW模型のRényi エントロピーは、小および大区間極限でどのように振る舞うか？
• RQ2 この模型におけるRényi エントロピーは、低温度領域でどのように振る舞うか？
• RQ3 この理論において $n\to1$ への解析接続が妨げられる理由は何か？ その影響はエンタングルメントエントロピーにどのように現れるか？
• RQ4 Riemann-Siegel シータ関数は分割関数にどのように関与し、レプリカトリックスにどのような影響を与えるか？
• RQ5 低温度極限において、$\r{SU}(N)_1$ WZW模型のRényi エントロピーは、普遍的CFT予測とどのように比較されるか？

主な発見

• 小区間極限におけるRényi エントロピーは、CardyとHerzogが予測した普遍的CFT挙動と整合しており、主な補正項は $\propto e^{-\pi\beta}$ である。
• 大区間極限では、Rényi エントロピーは $S_n \sim \tilde{c}_n - \frac{1}{n-1} \cdot 4n(N-1) \left( \frac{\sin \pi(l/L)}{n \sin(\pi/n)(l/L)} - 1 \right) e^{-\pi\beta} + \cdots$ のようにスケーリングする。
• 低温度展開において $Z_n$ は真空セクターに支配され、主な補正項は $e^{-\pi\beta}$ に比例し、$N-1$ に依存する。
• 古典的分割関数 $Z_{n,\text{classical}}$ は $|\Theta(0|i\Omega)|^2$ に依存しており、$n\to1$ への解析接続が不可能であるため、エンタングルメントエントロピーは抽出できない。
• 小区間極限においてRényi エントロピーは、CFTの期待と一致する普遍的 $\sim \frac{c}{12} n(1 - 1/n^2)$ スケーリングを示す。
• フェルミオン的表現およびRényi エントロピーのBose-Fermi双対性は、ここではボソン的表現を用いているが、今後の研究における未解決問題として特定されている。