[論文レビュー] Rapoport-Zink Spaces For Local P-Shtukas and Their Local Models

Esmail Arasteh Rad|arXiv (Cornell University)|Jul 9, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 27被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、関数体上の局所 𝔓-シトゥカに関連するラポルト＝ジンクス空間の局所モデルを確立し、グローバル 𝔈-シトゥカの局所モデル理論の局所的類似を完成させる。局所モデル定理を証明し、平坦性の基準を提供する。これにより、コッティッツ＝ラポルト層構造、フロベニウスの半単純跡数、および一般化されたファイバー上のコhomologicalサイクル構成への応用が可能となり、そのコホモロジーに有限次元チャウ環上の加群構造が与えられる。

ABSTRACT

In this article we first survey the analogy between Shimura varieties (resp. Rapoport-Zink spaces) and moduli stacks for global G-shtukas (resp. Rapooprt Zink spaces for local P-shtukas). This part is intended to enrich the dictionary between the arithmetic of number fields and function fields a bit further. Furthermore, to complete this picture, we also study some local properties of Rapoport-Zink spaces for local P-shtukas by constructing local models for them. This provides a "local" complementary to a previous work of the author, which was devoted to the study of the local models for the moduli stacks of global G-shtukas. We also discuss some of its applications.

研究の動機と目的

• 数体上のシムーラ多様体と関数体上のグローバル 𝔈-シトゥカのモジュライ空間との類似性を完成させるために、局所 𝔓-シトゥカの局所理論を展開すること。
• 先行研究で確立されたグローバル 𝔈-シトゥカの局所モデル理論を模倣して、局所 𝔓-シトゥカのラポルト＝ジンクス空間の局所モデルを構成すること。
• これらのラポルト＝ジンクス空間の特異点および平坦性性質を明確にする局所幾何的枠組みを提供すること。
• 局所モデル理論を用いて、特殊ファイバーおよび一般化されたファイバーにおける層構造やコホモロジー的不変量といったグローバルな帰結を導出すること。
• サイクル写像を用いて、これらの空間の一般化されたファイバーのコホモロジーに、特殊ファイバーのチャウ環上の加群構造を与えること。

提案手法

• 𝔓 を 𝔻 = 𝔽_q[[z]] 上の滑らかでアフィンな群スキームとし、一般ファイバーが連結な再帰的であるという一般設定のもとで、局所 𝔓-シトゥカのラポルト＝ジンクス空間の局所モデルを構成する。
• 局所モデル定理（定理 3.12）を適用し、真の局所モデル M_loc から反射環への平坦な準同型を確立し、単純なモデル M_naive における平坦性問題を解消する。
• 局所モデル図式を用いて、有界性条件の特殊ファイバーとラポルト＝ジンクス空間の一般化されたファイバーとの間の対応を定義する。
• デムズレ解体によるシューベルト多様体の Leray 譜および分解定理を用いて、特殊ファイバーのコホモロジーを分析する。
• モチーフ的分解定理および Leray-Hirsch 定理を適用し、滑らかなシューベルト多様体のモチーフが混合テイト的であることを示し、有限次元チャウ群が得られることを示す。
• サイクル類写像とサイクルの押し出しを合成することで、特殊ファイバーのチャウ環上のコンパクト台付き ℓ-進コホモロジーに加群構造を構成する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 関数体設定において、数体の場合と類似するように、局所 𝔓-シトゥカのラポルト＝ジンクス空間の局所モデルはどのように構成可能か？
• RQ2 局所モデル定理が、これらのラポルト＝ジンクス空間の平坦性および特異点に与える影響は何か？
• RQ3 局所モデル理論を用いて、コッティッツ＝ラポルト層構造のような特殊ファイバー上の層構造をどのように定義できるか？
• RQ4 局所モデル理論は、これらの空間のコホモロジーにおけるフロベニウスの半単純跡数の計算をどのように支援するか？
• RQ5 サイクル写像を用いて、一般化されたファイバーのコホモロジーに、特殊ファイバーのチャウ環上の加群構造をどのように与えられるか？

主な発見

• 局所モデル定理（定理 3.12）により、真の局所モデル M_loc から反射環への平坦な準同型が確立され、単純モデル M_naive に見られる平坦性の問題が解決される。
• 局所モデルの構成により、局所 𝔓-シトゥカのラポルト＝ジンクス空間がその反射環上で平坦であるための基準が得られる。
• ラポルト＝ジンクス空間の特殊ファイバーにおけるコッティッツ＝ラポルト層構造は、局所モデル図式を用いて構成される。
• 一般化されたファイバーのコホモロジーにおけるフロベニウスの半単純跡数は、ねじれたアフィンフラッグ多様体内のシューベルト多様体におけるそれと関係づけられ、コホモロジー的計算が可能になる。
• 特殊ファイバー Z が既約かつ滑らかであれば、コンパクト台付き ℓ-進コホモロジーは、Z の有限次元チャウ環 Ch*(Z) 上の加群構造をもつ。
• 特殊ファイバー Z が滑らかで既約であれば、モチーフ M(Z) は混合テイト的モチーフの直接和成分であり、すべての i に対して Ch^i(Z) が有限次元であることを示唆する。