[論文レビュー] Rationality of the exceptional W-algebras $\mathcal{W}_k(\mathfrak{sp}_4,f_{subreg})$ associated with subregular nilpotent elements of $\mathfrak{sp}_4$

Justine Fasquel|arXiv (Cornell University)|Sep 20, 2020

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 30被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、$k = -3 + p/3$ および $k = -3 + p/4$ の適切なレベルにおいて、例外的 $χ$-代数 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$ の有理性を証明し、その単純加群が完全可約であり、それらの特徴を計算している。本研究は、この場合におけるKac-Wakimotoの予想を裏付け、モジュール圏上の成分群の非自明な作用を明示的に記述している。

ABSTRACT

We prove the rationality of the exceptional W-algebras associated with the simple Lie algebra $\mathfrak{sp}_4$ and subregular nilpotent elements, proving a new particular case of a conjecture of Kac-Wakimoto. Moreover, we describe the simple $\mathcal{W}_k(\mathfrak{sp}_4,f_{subreg})$-modules and compute their characters. We also explicit the nontrivial action of the component group on the set of these simple modules.

研究の動機と目的

• 適切なレベル $k = -3 + p/3$ および $k = -3 + p/4$ における例外的 $χ$-代数 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$ の有理性を証明し、Kac-Wakimotoの予想を確認すること。
• すべての単純 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$-加群の分類と特徴の計算すること。
• 成分群が単純加群の集合に非自明に作用する様子を明示的に記述すること。

提案手法

• アフィン Kac-Moody代数 $>hat{\mathfrak{sp}}_4$ の整数的最高重量加群 $χ_k(\lambda^{(s)}_{i,j})$ にドリンフェルト-ソコロフ還元関手 $H_f$ を適用する。
• 文献[26, 第3節]の特徴公式を用いて、還元された加群 $H_f(\widehat{L}_k(\lambda^{(s)}_{i,j}))$ の特徴を計算する。
• 拡張されたアフィンワイル群 $\widetilde{W}$ を用いて、アフィンワイル群作用とねじれ軌道和を適用し、特に $y = r_{\alpha_1} r_{\alpha_2} t_{-\varpi_1^\vee}$ の要素を用いる。
• 関連する多様体が $q = 3$ または $q = 4$ のとき、$L_k(\mathfrak{sp}_4)$ の関連多様体が部分正則な単純型 $\mathbb{O}_{\text{subreg}}$ であるという事実に依拠し、適切なレベルと例外的ペア条件を結びつける。
• 同型 $H_f(\widehat{L}_k(\lambda^{(s)}_{i,j})) \cong L(\xi^{(s)}_{i,j}, \chi^{(s)}_{i,j})$ を用いて、単純加群とその特徴を特定する。
• 還元が次数0に集中している、すなわち $l \neq 0$ に対して $H^l_f(\widehat{L}_k(\lambda^{(s)}_{i,j})) = 0$ であることを確立し、加群構造を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 例外的 $χ$-代数 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$ は、適切なレベル $k = -3 + p/3$ および $k = -3 + p/4$ において有理的か？
• RQ2 単純 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$-加群の特徴は何か？ そしてドリンフェルト-ソコロフ還元によってどのように計算されるか？
• RQ3 単純型 $\mathbb{O}_{\text{subreg}}$ の成分群は、単純加群の集合に非自明にどのように作用するか？

主な発見

• $(p,3) = 1$、$p \geq 3$ のとき $k = -3 + p/3$、$(p,2) = 1$、$p \geq 4$ のとき $k = -3 + p/4$ において、$χ$-代数 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$ は有理的であり、この場合におけるKac-Wakimotoの予想を確認した。
• すべての単純 $χ_k(\mathfrak{sp}_4, f_{\text{subreg}})$-加群は、整数的最高重量 $>hat{\mathfrak{sp}}_4$-加群のドリンフェルト-ソコロフ還元の第0コホモロジーとして得られる。
• 各単純加群 $L(\xi^{(s)}_{i,j}, \chi^{(s)}_{i,j})$ の特徴は、公式 $\operatorname{ch}_{L(\xi^{(s)}_{i,j}, \chi^{(s)}_{i,j})}(q,z) = \operatorname{ch}_{H_f(\widehat{L}_k(\lambda^{(s)}_{i,j}))}(q,z)$ で与えられ、アフィンワイル群の軌道和を用いて明示的に計算されている。
• 部分正則な単純型 $\mathbb{O}_{\text{subreg}}$ の成分群は、特徴公式の構造とワイル群要素の作用によって、単純加群の集合に非自明に作用することが示された。
• $k = -3 + p/3$ の場合、単純加群は $1 \leq i \leq j \leq p-1$、$i+j \leq p$ を満たす $i,j$ を用いて $L(\xi^{(3)}_{i,j}, \chi^{(3)}_{i,j})$ とラベル付けされ、特徴公式は $\operatorname{ch}_{L(\xi^{(3)}_{i,j}, \chi^{(3)}_{i,j})}(q,z) = \frac{q^{\chi^{(3)}_{i,j}+2p-2i-\frac{j}{2}}z^{-\frac{2p}{3}+\frac{1}{2}}}{\prod_{n>0}(1-q^n)^2} \prod_{n>0}(1-q^{n-1}z)^{-1}(1-q^n z^{-1})^{-1} \sum_{w,\eta} \epsilon(wt_{3\eta}) q^{\cdots} z^{\cdots}$ である。
• $k = -3 + p/4$ の場合、単純加群は $L(\xi^{(2')}_{i,j}, \chi^{(2')}_{i,j})$ とラベル付けされ、特徴公式は同様の構造を示し、$W \times Q^\vee$ における和とねじれワイル群作用を含む。