[論文レビュー] Reading between the rational sections: Global structures of 4d $\mathcal{N}=2$ KK theories

Cyril Closset, Horia Magureanu|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2023

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 90被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、4次元 $N=2$ 超対称場理論のグローバル構造と、Seiberg-Witten楕円曲線のモーデル＝ヴェイユ群の torsion 部分群との幾何的対応を確立する。相対的および絶対的 Seiberg-Witten 曲線を区別し、1形式対称性のゲージ化が torsion 截線によって生成される同型写像（isogeny）の合成に対応することを示し、5次元および6次元 SCFT の Kaluza-Klein compactification におけるランク1 $N=2$ KK 理論のグローバル構造を分類する応用を行う。主たる貢献は、楕円曲線の同型写像を用いたデフォーム群および1形式対称性の体系的な幾何的符号号化である。

ABSTRACT

We study how the global structure of rank-one 4d $\mathcal{N}=2$ supersymmetric field theories is encoded into global aspects of the Seiberg-Witten elliptic fibration. Starting with the prototypical example of the $\mathfrak{su}(2)$ gauge theory, we distinguish between relative and absolute Seiberg-Witten curves. For instance, we discuss in detail the three distinct absolute curves for the $SU(2)$ and $SO(3)_\pm$ 4d $\mathcal{N}=2$ gauge theories. We propose that the $1$-form symmetry of an absolute theory is isomorphic to a torsion subgroup of the Mordell-Weil group of sections of the absolute curve, while the full defect group of the theory is encoded in the torsion sections of a so-called relative curve. We explicitly show that the relative and absolute curves are related by isogenies (that is, homomorphisms of elliptic curves) generated by torsion sections -- hence, gauging a one-form symmetry corresponds to composing isogenies between Seiberg-Witten curves. We apply this approach to Kaluza-Klein (KK) 4d $\mathcal{N}=2$ theories that arise from toroidal compactifications of 5d and 6d SCFTs to four dimensions, uncovering an intricate pattern of 4d global structures obtained by gauging discrete $0$-form and/or $1$-form symmetries. Incidentally, we propose a 6d BPS quiver for the 6d M-string theory on $\mathbb{R}^4 imes T^2$.

研究の動機と目的

• ランク1の4次元 $ N=2$ SQFT のグローバル構造、特に $SU(2)$ や $SO(3)_{/pm}$ のようなゲージ群の選択が、Seiberg-Witten 幾何学にどのように符号化されるかを明確化すること。
• 相対的 Seiberg-Witten 曲線と絶対的 Seiberg-Witten 曲線を区別すること。前者はリー代数の力学を記述し、後者は完全なグローバルゲージ群を符号化する。
• 絶対的 Seiberg-Witten 曲線のモーデル＝ヴェイユ群の torsion 部分群と1形式対称性との幾何的対応を確立すること。
• この枠組みを5次元および6次元 SCFT の Kaluza-Klein compactification に適用し、0形式および1形式対称性の離散的ゲージ化から生じるグローバル構造のパターンを明らかにすること。
• 同じ幾何的枠組みを用いて、$ mathbb{R}^4 \times T^2$ 上の M-string 理論の6次元 BPS クイバーを提案すること。

提案手法

• 相対的および絶対的 Seiberg-Witten 曲線を区別する：相対的曲線はリー代数の力学を記述し、絶対的曲線は完全なグローバルゲージ群を符号化する。
• 絶対的理論の1形式対称性が、その絶対的 Seiberg-Witten 曲線のモーデル＝ヴェイユ群の torsion 部分群と同型であることを特定する。
• torsion 截線によって生成される同型写像（isogeny）—楕円曲線間の準同型写像—を用いて、1形式対称性のゲージ化のプロセスをモデル化する。
• この枠組みを5次元 $E_1[\mathfrak{su}(2)]$ および6次元 $E_0$ 理論の KK compactification に適用し、モジュラー群および特異点型を用いて得られるグローバル構造を分析する。
• 理論のデフォーム群を、相対的 Seiberg-Witten 曲線の torsion 截線に関連づけ、$ mathfrak{su}(2)$ 理論ではデフォーム群 $ mathbb{D} = \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$ が得られる。
• モジュラー形式および $ mathrm{PSL}(2,\mathbb{Z})$ の合同部分群を用いて、曲線のモジュラー性質とそれに関連する対称性を分類する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 4次元 $\mathcal{N}=2$ SQFT のグローバル構造—特に $SU(2)$ と $SO(3)_{\pm}$ の区別—は、その Seiberg-Witten 幾何学にどのように符号化されるか？
• RQ2 相対的および絶対的 Seiberg-Witten 曲線の正確な幾何的関係は何か？ それらの間の同型写像は、1形式対称性のゲージ化とどのように対応するか？
• RQ3 絶対的曲線のモーデル＝ヴェイユ群の torsion 截線は、理論の1形式対称性をどのように実現するか？
• RQ4 5次元および6次元 SCFT を円周またはトーラスで compactification したとき、どのようなグローバル構造が現れ、Seiberg-Witten 幾何学によってどのように分類されるか？
• RQ5 $T^2$ 上の M-string 理論に対して6次元 BPS クイバーを構築できるか？ そして、そのクイバーは得られる4次元理論のグローバル構造とどのように関係するか？

主な発見

• 絶対的 $\mathcal{N}=2$ 理論の1形式対称性は、その絶対的 Seiberg-Witten 曲線のモーデル＝ヴェイユ群の torsion 部分群と同型である。
• $\mathfrak{su}(2)$ 理論のデフォーム群 $\mathbb{D} = \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$ は、相対的 Seiberg-Witten 曲線の torsion 截線に符号化されている。
• 1形式対称性のゲージ化は、Seiberg-Witten 曲線間の同型写像の合成に対応し、その同型写像は torsion 截線によって生成される。
• $\mathfrak{su}(2)$ 理論の3つの異なる絶対的曲線は、それぞれ $SU(2)$、$SO(3)_{+}$、$SO(3)_{-}$ に対応し、1形式対称性はそれぞれ $\mathbb{Z}_2$、$\mathbb{Z}_2$、$\mathbb{Z}_4$ である。
• $S^1$ 上での $E_1[\mathfrak{su}(2)]$ 5次元理論の compactification により得られる $\mathcal{N}=2$ KK 理論は、離散的ゲージ化によって分類され、モジュラー群として $\Gamma(2)$、$\Gamma_0(4)$、$\Gamma(4)$ をとる。
• トーラス $T^2$ 上の M-string 理論は6次元 BPS クイバーの提案が可能であり、その4次元グローバル構造は絶対的 Seiberg-Witten 曲線の torsion 構造によって決定され、$\mathbb{Z}_3^{[0]}$ のゲージ化は $V$-平面上の $\mathbb{Z}_3$ オルビフォールド点をもたらす。