[論文レビュー] Recent progress in geometric Langlands theory

Dennis Gaitsgory|arXiv (Cornell University)|Jun 30, 2016

Advanced Algebra and Geometry参考文献 12被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、G-バンドルのモジュライスタック上のD-モジュールと、ラングランズ双対局所系のスタック上の擬体層の間のカテゴリカル双対性に注目した、幾何的ラングランズ理論の最近の進展を調査する。局所系のスタックが1-アフィンであると仮定することで、局所的幾何的ラングランズ対応を基礎づける基本的同値性を確立し、特に局所設定における局所化ファンクターの全忠実性が、主要な結果である。

ABSTRACT

The is the English version of the text of the talk at Séminaire Bourbaki on February 16, 2016

研究の動機と目的

• Bun_G(X) 上のD-モジュールと、LocSys_{\check{G}}(X) 上の擬体層の間のカテゴリカル幾何的ラングランズ対応を、双対性として定式化し、動機づけること。
• 穴あき形式的ディスク上の局所系のスタック、LocSys_{\check{G}}(\hat{\mathcal{D}}) が1-アフィンであるという予想を確立すること。
• 幾何的ラングランズの文脈において、幾何的スタック上のカテゴリのカテゴリカル同定における1-アフィニティの役割を明確にすること。
• LocSys_{\check{G}}(\hat{\mathcal{D}}) 上の層のカテゴリと、その局所設定におけるQCoh(・) との同値性を用いた、局所的幾何的ラングランズ対応の枠組みを提供すること。

提案手法

• 特に LocSys_{\check{G}}(\hat{\mathcal{D}}) のようなスタックに対して、プレスタックの1-アフィニティの概念を導入し、層のカテゴリと擬体層モジュールのカテゴリを比較する。
• G(\mathcal{K}) のゲージ作用を用いて、\check{\mathfrak{g}} \otimes \omega_{\mathcal{K}} を定義し、その商プレスタックとして LocSys_{\check{G}}(\hat{\mathcal{D}}) を構成する。
• インダクティブなスキームおよびインダクティブな代数的スタックの理論を用いて、局所的幾何的ラングランズ設定で生じる無限次元幾何的対象を扱う。
• ベイリノヴィン＝ドリーフィンの局所化ファンクターおよび生成子と関係式の技法を活用し、自動的D-モジュールを構成する。
• LocSys_{\check{G}}(\hat{\mathcal{D}}) に対して、ファンクター \mathbf{Loc} が全忠実であることを確立する。これは1-アフィニティを証明する上で重要なステップである。
• QCoh(LocSys_{\check{G}}(\hat{\mathcal{D}})) がコンパクト生成であるという事実を用い、ShvCat(LocSys_{\check{G}}(\hat{\mathcal{D}})) との予想される同値性を支持する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 穴あき形式的ディスク上の \check{G}-局所系のプレスタック、LocSys_{\check{G}}(\hat{\mathcal{D}}) は1-アフィンか？
• RQ2 LocSys_{\check{G}}(\hat{\mathcal{D}}) の1-アフィニティは、カテゴリカル幾何的ラングランズ対応とどのように関係するか？
• RQ3 局所設定において、ShvCat(LocSys_{\check{G}}(\hat{\mathcal{D}})) と QCoh(LocSys_{\check{G}}(\hat{\mathcal{D}})) の正確な関係は何か？
• RQ4 LocSys_{\check{G}}(\hat{\mathcal{D}}) の無限次元構造は、その成分における1-アフィニティの失敗とは対照的に、なぜ1-アフィニティを妨げないのか？
• RQ5 この1-アフィニティ予想を通じて、局所的幾何的ラングランズ対応は、古典的およびグローバルな場合をどの程度一般化するのか？

主な発見

• プレスタック LocSys_{\check{G}}(\hat{\mathcal{D}}) は1-アフィンであると予想されており、その場合、ShvCat(LocSys_{\check{G}}(\hat{\mathcal{D}})) と QCoh(LocSys_{\check{G}}(\hat{\mathcal{D}})) がカテゴリとして同値であることが示唆される。
• この予想は、G がトーラスである場合には既知であり、一般予想の基礎的ケースを提供する。
• LocSys_{\check{G}}(\hat{\mathcal{D}}) に対して、ファンクター \mathbf{Loc} は全忠実である。これは1-アフィニティを証明する上で重要なステップである。
• QCoh(LocSys_{\check{G}}(\hat{\mathcal{D}})) のカテゴリはコンパクト生成であるため、カテゴリカル同値のターゲットとしての使用が支持される。
• \check{\mathfrak{g}} \otimes \omega_{\mathcal{K}} のインダクティブなスキーム構造および無限型群 G(\mathcal{K}) にもかかわらず、ゲージ作用の構造のおかげで、商 LocSys_{\check{G}}(\hat{\mathcal{D}}) は通常の1-アフィニティの障害を避ける。
• \check{\mathfrak{g}} \otimes \omega_{\mathcal{K}} や随伴作用による商など、関連する対象では1-アフィニティが失敗するという事実から、ゲージ作用が1-アフィニティの保持に特異な役割を果たすことが浮き彫りになる。