[論文レビュー] Refined Chern-Simons Theory and Topological String

Mina Aganagic, Shamil Shakirov|arXiv (Cornell University)|Oct 9, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 38被引用数 54

ひとこと要約

本稿は、$S^3$ 上の精細チャーン・サイモンズ理論と大 $N$ 対 dual に基づき、任意のトーリック Calabi-Yau 多様体に対する精細トポロジカル頂点形式を確立する。局所 $\mathbb{P}^2$ 上の精細トポロジカル弦の分配函数をキーワード付きチャーン・サイモンズ理論を用いて導出し、精細頂点がモース流れに依存するトーリックグラフの双対的分解から生じることを示し、マクドナルド多項式およびシュール多項式展開を用いて Iqbal-Kozcaz-Vafa 頂点と CIV-AK 頂点の等価性を証明する。

ABSTRACT

We show that refined Chern-Simons theory and large N duality can be used to study the refined topological string with and without branes. We derive the refined topological vertex of hep-th/0701156 and hep-th/0502061 from a link invariant of the refined SU(N) Chern-Simons theory on S^3, at infinite N. Quiver-like Chern-Simons theories, arising from Calabi-Yau manifolds with branes wrapped on several minimal S^3's, give a dual description of a large class of toric Calabi-Yau. We use this to derive the refined topological string amplitudes on a toric Calabi-Yau containing a shrinking P^2 surface. The result is suggestive of the refined topological vertex formalism for arbitrary toric Calabi-Yau manifolds in terms of a pair of vertices and a choice of a Morse flow on the toric graph, determining the vertex decomposition. The dependence on the flow is reminiscent of the approach to the refined topological string in upcoming work of Nekrasov and Okounkov. As a byproduct, we show that large N duality of the refined topological string explains the ``mirror symmetry`` of the refined colored HOMFLY invariants of knots.

研究の動機と目的

• 任意のトーリック Calabi-Yau 多様体、特に標準的クラスに属さないもの（例：局所 $\mathbb{P}^2$）を含む精細トポロジカル弦におけるトポロジカル頂点形式の拡張を図る。
• キーワード付きチャーン・サイモンズ理論と大 $N$ 対 dual を用いて、局所 $\mathbb{P}^2$ 上の精細トポロジカル弦の分配函数を導出する。
• トーリックグラフ上のモース流れを含む、2つの頂点と基づく一般化された精細トポロジカル頂点のフレームワークを確立する。
• 精細チャーン・サイモンズ理論のリンク不変量を用いて計算された精細トポロジカル弦の振幅が、精細彩色 HOMFLY 不変量を再現することを示し、それらの鏡像対称性を説明する。

提案手法

• 大 $N$ 限界における精細 $SU(N)$ チャーン・サイモンズ理論を $S^3$ 上で用い、リンク不変量と精細トポロジカル弦振幅の対応関係を用いて精細トポロジカル頂点を導出する。
• 複数の $S^3$ 成分を持つキーワード付きチャーン・サイモンズ理論に大 $N$ 対 dual を適用し、各ノードが 3-球面またはオルビフォールドを包む M5 ブラネを表すようにする。
• 精細 Ooguri-Vafa 演算子を用いて、精細トポロジカル弦振幅を精細チャーン・サイモンズ理論の knot 不変量に変換する。
• 複数の $S^3$ を収縮させ、$\mathbb{P}^1$ を成長させる幾何学的遷移を実行することで、局所 $\mathbb{P}^2$ 上の精細トポロジカル弦の分配函数を構成する。
• 精細ホロモーフィックブロックの展開を用いて、精細頂点振幅を2つの基底（マクドナルド多項式およびシュール多項式）で表現する。
• 同じ基本振幅の異なる展開として生じることを示すことにより、CIV-AK 頂点と Iqbal-Kozcaz-Vafa 頂点の等価性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 標準的クラスを超える任意のトーリック Calabi-Yau 多様体に対して、精細トポロジカル頂点形式をどのように一般化できるか？
• RQ2 トーリックグラフ上のモース流れが、精細トポロジカル弦における頂点分解を決定する役割を果たす仕組みは何か？
• RQ3 精細チャーン・サイモンズ理論における大 $N$ 対 dual が、局所 $\mathbb{P}^2$ 上の精細トポロジカル弦の分配函数をどのように再現するか？
• RQ4 精細トポロジカル弦において、CIV-AK 頂点と Iqbal-Kozcaz-Vafa 頂点の間の数学的関係は何か？
• RQ5 精細トポロジカル弦は、精細彩色 HOMFLY 不変量の鏡像対称性をどのように説明するか？

主な発見

• 局所 $\mathbb{P}^2$ 上の精細トポロジカル弦の分配函数は、複数の $S^3$ 成分を持つキーワード付き精細チャーン・サイモンズ理論と大 $N$ 対 dual を用いて導出される。
• 任意のトーリック Calabi-Yau 多様体に対する精細トポロジカル頂点は、2つの頂点とトーリックグラフ上のモース流れの選択に依存すると示唆される。流れが頂点分解を決定する。
• CIV-AK 頂点と Iqbal-Kozcaz-Vafa 頂点は、基底の変換によって等価であることが示され、前者はマクドナルド多項式、後者はシュール多項式を用い、両者とも同じ基本振幅の展開として現れる。
• 精細 Ooguri-Vafa 演算子は、精細トポロジカル弦振幅を精細チャーン・サイモンズ理論のリンク不変量に写像するための主要な道具であることが明らかになった。
• 局所 $\mathbb{P}^2$ 上の精細トポロジカル弦の分配函数は、標準的でないトーリック幾何に一般化されたトポロジカル頂点形式の分解を許容する。
• 精細彩色 HOMFLY 不変量の鏡像対称性は、$\Omega$-バックグラウンドにおける M理論の分配函数と knot 不変量を結ぶ大 $N$ 対 dual によって精細トポロジカル弦で説明される。