[論文レビュー] Representative functions on discrete groupoids and duality with Hopf algebroids

Laiachi El Kaoutit|arXiv (Cornell University)|Nov 12, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、2つの反変函手（それぞれ、各ホップアレブロイドにそのキャラクター群作用を割り当てるものと、各離散群作用にその代表的関数のホップアレブロイドを割り当てるもの）を介して、離散群作用の圏と幾何的に推移的ないくつかの可換ホップアレブロイドの圏の間に双対性を確立する。主な貢献は、離散群と可換ホップ代数の古典的双対性を群作用の文脈に一般化し、タンナカ＝クレイン双対性の原理を拡張することにある。

ABSTRACT

The aim of this paper is to establish a duality between the category of discrete groupoids and the category of geometrically transitive commutative Hopf algebroids in the sense of P. Deligne and A. Bruguières. In one direction we have the usual contravariant functor which assigns to each Hopf algebroid its characters groupoid (the fiber groupoid at the ground field). In the other direction we construct the contravariant functor which associated to each discrete groupoid its Hopf algebroid of representative functions. This duality extends the well known duality between discrete groups and commutative Hopf algebras, and also sheds light on a new approach to Tannaka-Krein duality for compact topological groupoids. Our results are supported by several illustrative examples including topological ones.

研究の動機と目的

• 離散群と可換ホップ代数の古典的双対性を群作用の文脈に拡張すること。
• 代表的関数を用いて、離散群作用から可換ホップアレブロイドへの反変函手を定義すること。
• 離散群作用の圏と幾何的に推移的な可換ホップアレブロイドの圏の間の双対性を確立すること。
• 位相的群作用の文脈においてタンナカ＝クレイン双対性を理解するための新しい枠組みを提供すること。
• 代表的関数の役割をリー群およびコンパクト群から離散群作用へ一般化すること。

提案手法

• 体 $\Bbbk$ 上で、各離散群作用にその代表的関数のホップアレブロイドを割り当てる反変函手を構成する。
• 基底体におけるファイバー群作用を用いて、ホップアレブロイドから離散群作用へのキャラクター群作用函手を定義する。
• タンカリアン圏およびモノイダル圏の理論を用いて、幾何的に推移的な可換ホップアレブロイドの圏における普遍対象を定義する。
• 普遍ホップアレブロイドとしての $\mathscr{L}_{\Bbbk}(\omega) \cong \bigoplus_X \omega(X)^* \otimes_{\mathrm{T}_X} \omega(X)$ の構成を採用する。
• デリーニとブルギエーフルのタンカリアン圏および十分なイデムポテンスを持つホップアレブロイドの構造に関する結果に依拠する。
• ファイバー函手を備えたタンカリアン圏の圏 $\mathsf{Tanna}_{\Bbbk}$ を用いて、函手 $\mathscr{L}_{\Bbb{k}}$ を $\mathsf{GTCHAlgd}_{\Bbb{k}}$ へ定義する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 離散群と可換ホップ代数の双対性は、離散群作用と可換ホップアレブロイドの文脈に拡張可能か？
• RQ2 離散群作用上の代表的関数をどのように用いてホップアレブロイド構造を構成できるか？
• RQ3 キャラクター群作用は、ホップアレブロイドと離散群作用の間の双対性において果たす役割は何か？
• RQ4 この双対性は、コンパクトな位相的群作用に対するタンナカ＝クレイン双対性とどのように関係するか？
• RQ5 群作用上の代表的関数の構成を支える代数的および圏論的構造は何か？

主な発見

• 本稿は、函手 $\mathscr{R}_{\Bbbk}$ と $\chi_{\Bbb{k}}$ を介して、離散群作用の圏と幾何的に推移的な可換ホップアレブロイドの圏の間の反変双対性を確立した。
• 離散群作用上の代表的関数のホップアレブロイドは、$\mathscr{L}_{\Bbb{k}}(\omega) \cong \bigoplus_X \omega(X)^* \otimes_{\mathrm{T}_X} \omega(X)$ として構成され、幾何的に推移的な可換ホップアレブロイドの圏への良い定義された共変函手を形成する。
• この双対性は、離散群と可換ホップ代数の古典的双対性を一般化し、群作用の文脈に拡張している。
• $\mathscr{L}_{\Bbb{k}}$ の構成が厳密な双圏の準同型であることが示され、圏的枠組みが強化された。
• コンパクトハウスドルフ基底空間を持つ位相的群作用上の連続的代表的関数の代数は、一般化された函手 $\overline{\mathscr{L}}_{\Bbb{k}}$ によるタンカリアン対象の像として得られる。
• 関連する双モジュール $\boldsymbol{\Sigma}$ が射影的であれば、ホップアレブロイド $\overline{\mathscr{L}}_{\Bbb{k}}(\omega)$ は $(A \otimes_{\Bbb{k}} A)$-モジュールとして射影的である。