[論文レビュー] Residual equilibrium schemes for time dependent partial differential equations

Lorenzo Pareschi, Thomas Rey|arXiv (Cornell University)|Feb 8, 2016

Computational Fluid Dynamics and AerodynamicsEngineering参考文献 38被引用数 19

ひとこと要約

本稿では、定常解を保存しつつ高次精度を達成する時間依存PDEに対する残差平衡スキームを導入する。平衡に基づく補正とフラックス制限子を用いて数値フラックスを修正することで、移流拡散方程式、双曲型バランス法則、および運動論方程式に対し、精度を損なうことなく、安定性と単調性を保証するwell-balancedな挙動を実現する。

ABSTRACT

Many applications involve partial differential equations which admits nontrivial steady state solutions. The design of schemes which are able to describe correctly these equilibrium states may be challenging for numerical methods, in particular for high order ones. In this paper, inspired by micro-macro decomposition methods for kinetic equations, we present a class of schemes which are capable to preserve the steady state solution and achieve high order accuracy for a class of time dependent partial differential equations including nonlinear diffusion equations and kinetic equations. Extension to systems of conservation laws with source terms are also discussed.

研究の動機と目的

• 時間依存PDEにおいて、標準的手法が源項のバランスに起因して失敗する場合でも、非自明な定常解を保存する数値スキームの開発。
• 運動論方程式に限らない、非線形拡散および双曲型バランス法則を含む広いクラスのPDEにまで、マイクロマクロ分解技術を拡張すること。
• 源項が存在する状況においても、高次精度を維持しながらwell-balanced性およびTVD（全 Variation 減少）特性を保つこと。
• 問題特有のフラックス設計を回避できる、構造的に単純で広く適用可能なフレームワークを提供すること。

提案手法

• 数値フラックスを、定常解から導かれる平衡フラックスを差し引くことで補正する残差分布アプローチを導入する。
• 補正の制御と単調性の維持のため、平衡インジケータ r = ΔUⁿᵢ / ΔUᵉᑫᵢ に依存するフラックス制限子関数 φ(r) を導入する。
• スキームは ∂uᵢ/∂t = −(𝒰ᵢ₊₁/₂ − 𝒰ᵢ₋₁/₂)/Δx + (uᵢ − uᵢᵉᑫ) として定式化され、𝒰ᵢ±₁/₂ = Uᵘᵐᵢ±₁/₂ − φᵢUᵉᑫᵢ±₁/₂ により定常解の保存が保証される。
• 線形問題では、変換 uᵢ → uᵢ − uᵢᵉᑫ により残差スキームが元の方法と等価となり、その性質が保存される。
• 非線形スキームでは、0 ≤ φ(r)/r ≤ 1 を満たすようにフラックス制限子 φ(r) を設計することで、適切な時間刻み条件下でTVD安定性が保証される。
• 移流拡散方程式、源項付き双曲型系、運動論方程式に対して検証され、数値結果により精度とwell-balanced性が確認された。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 問題特有のフラックス設計を要せず、時間依存PDEにおける定常解を保存する一般枠組みを構築できるか？
• RQ2 源項を伴う非線形PDEに対して、well-balancedスキームで高次精度を維持するにはどうすればよいか？
• RQ3 非線形スキームにおいて、定常解保存とTVD（全 Variation 減少）安定性の両方を満たすフラックス制限子戦略は何か？
• RQ4 マイクロマクロ分解技術は、運動論方程式を超えて、他のPDEクラスへどの程度一般化可能か？

主な発見

• 残差平衡スキームは、半離散形 ∂uᵢ/∂t = −(𝒰ᵢ₊₁/₂ − 𝒰ᵢ₋₁/₂)/Δx + (uᵢ − uᵢᵉᑫ) により、移流拡散方程式において定常解 uᵉᑫ(𝑥) を正確に保存する。
• uᵉᑫ(𝑥) = u_B exp(−𝑥/a) である線形移流拡散問題において、フラックス補正が適用されていれば、メッシュ解像度や時間刻みにかかわらず定常状態が維持される。
• r ≤ 1 に対して r^α、r > 1 に対して r^−α（α > 1）と定義されるフラックス制限子 φ(r) は、0 ≤ φ(r)/r ≤ 1 の条件下で、well-balanced性とTVD安定性の両方を保証する。
• 数値結果により、強力な源項や不連続な初期データが存在する場合でも、高次精度が維持され、不適切な振動が生じないことが確認された。
• 不変量の不等式 TV(uⁿ⁺¹) ≤ (1 − Δt)TV(uⁿ) + ΔtTV(uᵉᑫ) が成り立ち、TV(uᵉᑫ) ≤ TV(uⁿ) の条件下で、元のスキームのTVD性質が保持される。
• 本手法は、源項付き保存則系や運動論方程式へも拡張可能であり、提示されたモデル問題を超えて広範な適用性を示している。