[論文レビュー] Review of deformation theory II: a homotopical approach

Ai Guan, Andrey Lazarev+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2019

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 20被引用数 6

ひとこと要約

本稿は特徴的ゼロにおける変形理論のホモトピー的枠組みを確立し、任意の変形函手が quasi-isomorphism までに微分付き Lie 代数 (dg-Lie 代数) によって制御されることを示している。モデル圏理論と Koszul 対称性を用いて、局所擬コンパクト dg 代数のホモトピー圏における変形函手の表現可能性を証明し、古典的結果をホモトピー的に整合性のある設定に拡張している。

ABSTRACT

We give a general treatment of deformation theory from the point of view of homotopical algebra following Hinich, Manetti and Pridham. In particular, we show that any deformation functor in characteristic zero is controlled by a certain differential graded Lie algebra defined up to homotopy, and also formulate a noncommutative analogue of this result valid in any characteristic.

研究の動機と目的

• モデル圏と Brown の表現可能性を用いて、変形理論に厳密なホモトピー的基盤を提供すること。
• 古典的な結果（変形函手が dg-Lie 代数によって制御される）をホモトピー的不変な設定に一般化すること。
• 結合的 dg 代数を用いて、任意の特徴的においても有効な非可換類似物を確立すること。
• 局所擬コンパクト dg 代数上の変形函手が、適切な条件下でホモトピー圏において表現可能であることを示すこと。
• Koszul 対称性と bar–cobar 構成を用いて、可換および結合的変形理論を比較すること。

提案手法

• 局所擬コンパクト dg 代数上の変形函手を形式化するために Quillen の閉じたモデル圏を用いる。
• コンパクト生成モデル圏における Brown の表現可能性を適用して、変形函手のホモトピー的表現可能性を確立する。
• Hinich の枠組みを介して dg Lie 代数と余可換 dg コalgebra 間の Koszul 対称性を用い、変形函手と dg-Lie 代数の関係を確立する。
• bar–cobar 構成を用いて結合的 dg 代数と dg-Lie 代数を関連させ、変形制御の転送を可能にする。
• 局所擬コンパクト dg 代数のホモトピー圏上の函手が表現可能であるための条件を定式化する：ホモトピー不変性、正規化、積の保存、および引き戻し写像の上への性質。
• アーベル化関手と Chevalley–Eilenberg 構成との随伴関係を用いて、結合的および可換変形函手を関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 局所擬コンパクト dg 代数上の変形函手がホモトピー圏においていつ表現可能か？
• RQ2 特徴的ゼロにおける変形函手は、quasi-isomorphism までにどのように dg-Lie 代数によって制御されるか？
• RQ3 ホモトピー的設定において、結合的および可換変形理論の関係は何か？
• RQ4 bar–cobar 対称性を用いて、結合的 dg 代数によって制御される変形函手と dg-Lie 代数によって制御されるものとの関係を確立できるか？
• RQ5 局所擬コンパクト dg 代数のホモトピー圏上の函手が表現可能であるための必要十分条件は何か？

主な発見

• ホモトピー不変性、正規化、積の保存、およびファイバー積に関する上への性質を満たす、局所擬コンパクト dg 代数のホモトピー圏上の任意の変形函手は表現可能である。
• 特徴的ゼロにおいて、任意の変形函手は、変形代数の bar 構成を介して、quasi-isomorphism までに定義された dg-Lie 代数によって制御される。
• dg 代数 𝔤 に付随する変形函手は、bar 構成 Bar(𝔤) によって表現可能であり、Lie(𝔤) の Maurer–Cartan 函手と同型である。
• 結合的変形函手を局所擬コンパクト可換 dg 代数の圏に制限すると、その関係は結合的代数の Lie 代数によって制御される変形函手に対応する。
• Chevalley–Eilenberg 構成により、bar 構成から可換 dg 代数へのホモトピー類の写像と、関連 Lie 代数の Maurer–Cartan 要素との間に自然な同型が存在する。
• モジュールの導来自己準同型の非単位元 dg 代数は、その変形を制御する。特に可換設定に制限すると、その自己準同型代数の Lie 代数に対応する。