[論文レビュー] Reviving the Lieb-Schultz-Mattis Theorem in Open Quantum Systems

Yi-Neng Zhou, Xingyu Li+3 more|arXiv (Cornell University)|Oct 2, 2023

Quantum many-body systemsPhysics and Astronomy参考文献 57被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、バスタイムに結合された半整数スピン鎖のエンタングルメントスペクトルが、スピン回転対称性と並進対称性を保ち、短距離相関を持つ場合、非简併でギャップのある基底状態を取ることができないというLieb-Schultz-Mattis (LSM) 定理の再活性化を提案する。主な結果は、エンタングルメントハミルトニアンがギャップなしまたは簡併した基底状態を持つ必要があることであり、これは元のLSM定理の位相的制約をエンタングルメントスペクトルを通じてオープン系に拡張したものである。

ABSTRACT

In closed systems, the celebrated Lieb-Schultz-Mattis (LSM) theorem states that a one-dimensional locally interacting half-integer spin chain with translation and spin rotation symmetry cannot have a non-degenerate gapped ground state. However, the applicability of this theorem is diminished when the system interacts with a bath and loses its energy conservation. In this letter, we propose that the LSM theorem can be revived in the entanglement Hamiltonian when the coupling to bath renders the system short-range correlated. Specifically, we argue that the entanglement spectrum cannot have a non-degenerate minimum, isolated by a gap from other states. We further support the results with numerical examples where a spin-$1/2$ system is coupled to another spin-$3/2$ chain serving as the bath. Compared with the original LSM theorem which primarily addresses UV--IR correspondence, our findings unveil that the UV data and topological constraints also have a pivotal role in shaping the entanglement in open quantum many-body systems.

研究の動機と目的

• エネルギー保存則がバスタイムとの結合によって失われるオープン量子系に、Lieb-Schultz-Mattis (LSM) 定理を拡張すること。
• LSM型定理を定式化するためのオープン系における物理的ハミルトニアン $\hat{H}$ の自然な類似物としてエンタングルメントスペクトルを特定すること。
• バスタイムとの結合によって生じる短距離相関が、元のLSM定理の位相的制約がエンタングルメントスペクトルにどのように保存されるかを確立すること。
• 数値的例を通じて、スピン-1/2鎖がスピン-3/2バストに結合した場合のエンタングルメントスペクトルが、常に簡併またはギャップなしの性質を示すことで、提案されたオープン系LSM定理を検証すること。

提案手法

• 物理的ハミルトニアン $\hat{H}$ のオープン系アナログとして、$\rho = e^{-\hat{K}}$ により定義されるエンタングルメントハミルトニアン $\hat{K}$ を提唱する。
• LSM定理が再活性化される2つの重要な条件を特定する：(1) SO(3) スピン回転対称性および半整数スピン表現、(2) システム密度行列 $\rho$ における短距離相関、これは有限な相関長 $\xi$ を意味する。
• 半整数スピン/ユニットセルの下で、並進演算子と反可換となるトゥイスト演算子 $\hat{U}^{\text{twist}} = e^{i\frac{2\pi}{L}\sum_j j \hat{S}^z_j}$ を用いてエンタングルメントスペクトルを調べる。
• 関数 $-\ln x$ の凸性を用いて、エンタングルメントスペクトルギャップ $\Delta\lambda$ の上限を導出し、$\Delta\lambda \leq -\ln\langle\rho\rangle_{\text{twist}} - \langle\hat{K}\rangle_0 \leq \langle\hat{K}\rangle_{\text{twist}} - \langle\hat{K}\rangle_0$ を得る。この不等式は、熱力学的極限におけるギャップ閉じの可能性を支持する。
• 2つのモデルにおける数値的DMRG計算を実施：スピン-1/2鎖がスピン-3/2バストに結合した系と、異方性結合を持つMajumdar–Ghosh鎖にバスタイムを結合した系。理論的予測の妥当性を検証する。
• 両モデルにおけるエンタングルメントスペクトルを分析し、基底状態が常に簡併またはギャップなしの性質を示すことを示し、提案されたオープン系LSM定理を確認する。

Figure 1: Comparing the LSM theorem in closed and open systems. (a) In closed systems, we consider the physical Hamiltonian $\hat{H}$ and the energy spectrum $E$ . (b) In open systems, we consider the entanglement Hamiltonian $\hat{K}$ and the entanglement spectrum $\lambda$ . These two spectra exhi

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 エネルギー保存則がバスタイムとの結合によって破れるオープン量子系において、Lieb-Schultz-Mattis定理を拡張することは可能か？
• RQ2 オープン系におけるLSM定理のエネルギースペクトルに代わるものは何か？そして、位相的制約は依然として適用可能か？
• RQ3 特に、対称性と相関構造に関して、どのような条件下でLSM定理がエンタングルメントスペクトルに再活性化可能か？
• RQ4 グローバル対称性を持つ短距離相関のある半整数スピン鎖のエンタングルメントハミルトニアンは、その低エネルギー準位に必ず簡併性またはギャップなしの性質を示すのか？
• RQ5 UVスケールの対称性と位相的制約は、オープン多体系のエンタングルメントスペクトルにどのように現れるか？

主な発見

• SO(3) スピン回転対称性と並進対称性を保つ限り、バスタイムに結合された半整数スピン鎖のエンタングルメントスペクトルは、非簡併でギャップのある基底状態を取ることはできない。
• エンタングルメントハミルトニアン $\hat{K}$ は、ギャップなしまたは簡併した基底状態を持つ必要があり、これは元のLSM定理の位相的制約がオープン系に拡張されたものである。
• エンタングルメントスペクトルギャップ $\Delta\lambda$ の有限サイズスケーリングは、熱力学的極限 $L \to \infty$ においてギャップが消えることを支持しており、無限大系ではギャップレスまたは簡併したスペクトルであることを示唆する。
• スピン-1/2鎖がスピン-3/2バストに結合した系の数値結果から、エンタングルメントスペクトルが常に簡併またはギャップなしの性質を示すことが判明し、提案された定理と整合的である。
• スピン-3/2バストに結合したMajumdar–Ghoshモデルでは、物理的エネルギースペクトルとエンタングルメントスペクトルの両方で二重簡併基底状態が観測され、これはLSM型制約に一致するスピンの自発的対称性破れを示している。
• 結果は、閉じた系においてエネルギースペクトルに結びついていたUVスケールの対称性と位相的制約が、オープン多体系のエンタングルメントスペクトルの構造をも支配することを示している。

Figure 2: (a) The tripartition $A$ , $B$ and $C$ of the spin chain as used in the proof. (b) Schematic of the model used in our numerical example. The upper chain with spin- $1/2$ denotes the system and the lower chain with spin- $3/2$ denotes the bath. They are coupled and the entire system respect