[論文レビュー] Sampled-Data Boundary Feedback Control of 1-D Hyperbolic PDEs with Non-Local Terms

Iasson Karafyllis, Miroslav Krstić|arXiv (Cornell University)|Feb 28, 2017

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 30被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、非局所項を含む1次元線形双曲型PDEに対して、ゼロ次ホールド（ZOH）を用いたサンプリングデータ境界フィードバック制御則を提案する。連続時間のバックステッピング設計による境界フィードバックが、十分に小さなサンプリング周期でZOHにより実装された場合、本稿ではその系が本質的安定性を示し、サンプリング間隔が小さくなるほど収束が速くなることを証明している。これは、放物型系とは異なり、また、サンプリングジッターに対してもロバストである。

ABSTRACT

The paper provides results for the application of boundary feedback control with Zero-Order-Hold (ZOH) to 1-D linear, first-order, hyperbolic systems with non-local terms on bounded domains. It is shown that the emulation design based on the recently proposed continuous-time, boundary feedback, designed by means of backstepping, guarantees closed-loop exponential stability, provided that the sampling period is sufficiently small. It is also shown that, contrary to the parabolic case, a smaller sampling period implies a faster convergence rate with no upper bound for the achieved convergence rate. The obtained results provide stability estimates for the sup-norm of the state and robustness with respect to perturbations of the sampling schedule is guaranteed.

研究の動機と目的

• 非局所項を含む1次元双曲型PDEに対して、連続時間のバックステッピング境界制御設計をサンプリングデータ実装に拡張すること。
• 特にess-ノルム安定性に注目して、ゼロ次ホールド（ZOH）によるサンプリング下での閉ループ系の安定性を分析すること。
• サンプリング周期が収束速度に与える影響を調査し、放物型PDEの挙動と対比すること。
• サンプリングスケジュールの摂動に対する制御則のロバスト性を確立すること。
• サンプリングデータフィードバック下での状態のess-ノルムに対する明示的な安定性推定を提供すること。

提案手法

• 非局所項を含む1次元双曲型PDEに対して、バックステッピングを用いて得られた連続時間の境界フィードバック制御則を適応する。
• 制御則をゼロ次ホールド（ZOH）を用いて実装し、サンプリング瞬間の間に制御入力を一定に保つ。
• Lyapunovに基づく技術を用いて閉ループ系を分析し、ess-ノルムにおける安定性推定を導出する。
• 十分に小さなサンプリング周期の下で指数的安定性が保持されることを確立する。
• サンプリング周期が小さくなるほど収束速度が向上することを示す推定式を導出し、達成可能な速度に上界がないことを示す。
• 不規則なサンプリング間隔の下でも安定性解析を通じて、サンプリングスケジュールの摂動に対するロバスト性を検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非局所項を含む1次元双曲型PDEに対して、連続時間のバックステッピング境界フィードバック則をZOHによるサンプリングデータ制御で成功裏にエミュレートできるか？
• RQ2 このような系において、ess-ノルムでの指数的安定性を維持するために必要な最小のサンプリング周期は何か？
• RQ3 サンプリング周期がサンプリングデータ系の収束速度に与える影響は何か、特に放物型PDEと比較してどうなるか？
• RQ4 ジャイターや不規則なサンプリング間隔などのサンプリングスケジュールの摂動に対し、制御則はロバストか？
• RQ5 サンプリングデータ閉ループ系のess-ノルムに対する明示的な安定性推定を導出できるか？

主な発見

• 十分に小さなサンプリング周期の下では、サンプリングデータ閉ループ系がess-ノルムで指数的安定性を示すことが保証される。
• 収束速度はサンプリング周期が小さくなるにつれて単調に増加し、達成可能な速度に上界がない。これは放物型PDEとは対照的である。
• サンプリングスケジュールの摂動に対するロバスト性が確立されており、不規則なまたはジッターを伴うサンプリング下でも系は安定である。
• 本稿では、状態のess-ノルムに対する明示的な安定性推定が提供され、サンプリングデータ制御則下での減衰率が定量的に評価されている。
• ZOHに基づくバックステッピング設計された境界フィードバックのエミュレーションが、安定性を保持するとともに、サンプリング周波数を高めることで性能が向上することを示している。
• 解析により、PDEにおける非局所項が、サンプリング周期が十分に小さい限り、安定化を妨げないことが確認された。