[論文レビュー] Sampling Error Analysis in Quantum Krylov Subspace Diagonalization

Gwonhak Lee, Dongkeun Lee+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 30, 2023

Quantum Computing Algorithms and ArchitectureComputer Science被引用数 3

ひとこと要約

本論文は、NISQ時代における量子Krylov部分空間対角化（QKSD）におけるサンプリング誤差を非漸近的理論枠組みで分析するものであり、有限の測定ショット数が行列要素にガウスノイズを引き起こし、一般化固有値問題（GEVP）を摂動することを示している。低固有値に起因する悪条件化を軽減するための最適な切り捨て閾値を導入し、1次元 Hubbardモデルにおける数値的検証を通じて、良好に条件付けられた領域では誤差境界が実験的サンプリング誤差を正確に予測することを確認した。

ABSTRACT

Quantum Krylov subspace diagonalization (QKSD) is an emerging method used in place of quantum phase estimation in the early fault-tolerant era, where limited quantum circuit depth is available. In contrast to the classical Krylov subspace diagonalization (KSD) or the Lanczos method, QKSD exploits the quantum computer to efficiently estimate the eigenvalues of large-size Hamiltonians through a faster Krylov projection. However, unlike classical KSD, which is solely concerned with machine precision, QKSD is inherently accompanied by errors originating from a finite number of samples. Moreover, due to difficulty establishing an artificial orthogonal basis, ill-conditioning problems are often encountered, rendering the solution vulnerable to noise. In this work, we present a nonasymptotic theoretical framework to assess the relationship between sampling noise and its effects on eigenvalues. We also propose an optimal solution to cope with large condition numbers by eliminating the ill-conditioned bases. Numerical simulations of the one-dimensional Hubbard model demonstrate that the error bound of finite samplings accurately predicts the experimental errors in well-conditioned regions.

研究の動機と目的

• NISQ時代における量子回路の有限測定に起因する、量子Krylov部分空間対角化（QKSD）におけるサンプリングノイズという重要な課題に取り組むこと。
• 有限サンプリングがKrylov部分空間内での一般化固有値問題（GEVP）における固有値推定の精度にどのように影響するかを分析すること。
• QKSDの結果に及ぼすサンプリングノイズの影響を定量化する、きめ細やかな非漸近的誤差解析フレームワークを構築すること。
• 悪条件化された基底ベクトルを排除する最適な切り捨て戦略を提案・裏付けることにより、数値的安定性を向上させること。

提案手法

• ハダマードテストにおけるサンプリング誤差を、測定ショット数の逆平方根で上限が与えられる平均ゼロのガウスノイズとしてモデル化する。
• トーペリッツおよび非トーペリッツ構成の両方における、摂動行列のスペクトルノルムの非漸近的上界を導出する。
• 重なり行列の特異値に基づく切り捨て閾値を導入し、悪条件化された基底ベクトルを排除することで誤差伝搬を低減する。
• フロベニウスノルムと三角不等式を用いて、射影されたハミルトニアン行列における総誤差を評価し、非可換性誤差とサンプリング誤差の成分に分離する。
• トーペリッツ構成が非トーペリッツ手法よりも誤差低減において優位であるための漸近的条件（式117）を導出する。
• ノイズレスな量子回路を仮定した1次元フェルミ-Hubbardモデルの数値シミュレーションを通じて、理論的誤差境界の妥当性を検証する。

Figure 1: QKSD algorithm involves a quantum part carrying out the projection from the full Hilbert space to the Krylov subspace and a classical part solving the corresponding GEVP. Each element in the matrix pair $(\bm{H},\bm{S})$ is evaluated by the Hadamard test where the controlled $\hat{U}$ gate

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハダマードテストにおける有限サンプリングは、QKSDにおける固有値推定の精度にどのように影響するか？
• RQ2 QKSDにおけるサンプリングノイズに起因する摂動行列のスペクトルノルムに対する非漸近的上限は何か？
• RQ3 トーペリッツ構成の行列要素が非トーペリッツ構成を上回る誤差低減効果を示す条件は何か？
• RQ4 重なり行列の悪条件化はどのように軽減可能か？ これによりQKSDにおける一般化固有値問題の安定性がどのように向上するか？
• RQ5 理論的誤差境界は、数値的にシミュレートされたQKSD実装における実験的サンプリング誤差を正確に予測できるか？

主な発見

• 射影されたハミルトニアンにおけるサンプリング誤差のスペクトルノルムは、$ O\bigl( \|\hat{H}\|_{\beta} n \sqrt{n \log n} / \sqrt{M_{\bm{H}}} \bigr) $ で有界であり、ここで $ M_{\bm{H}} $ は測定ショット数を表す。
• トーペリッツ構成における非可換性誤差は $ O\bigl( N_{\Gamma}^2 \|\hat{H}\| \Delta_t^2 n^3 / D^2 \bigr) $ に比例し、$ \hat{U}_{\mathrm{ST}} $ が $ \hat{H} $ と可換でない場合には系統的バイアスを引き起こす。
• トーペリッツ構成が非トーペリッツ手法を上回るための漸近的条件として、$ D = \Omega\bigl( N_{\Gamma} \Delta_t \bigl( \|\hat{H}\| / \|\hat{H}\|_{\beta} \bigr)^{1/2} (n^3 M_{\bm{H}} / \log n)^{1/4} \bigr) $ を導出する。
• 提案された切り捨て閾値は、悪条件化された基底ベクトルを効果的に排除し、サンプリングノイズへの感受性を低減し、GEVPの解を安定化させる。
• 1次元Hubbardモデルの数値シミュレーションにより、理論的誤差境界が良好に条件付けられた領域における実際のサンプリング誤差とよく一致することが確認された。
• 誤差解析フレームワークは、ショット数の増加に伴う固有エネルギー推定の収束行動を正確に予測でき、QKSD実装における実用的妥当性を裏付けた。

Figure 2: Overview of the main results. Error matrices are considered as Gaussian random matrices whose standard deviations are derived in Appendix C . The statistics of the error matrix norm is derived using (Tropp, 2015 , Theorem 4.4.1) , whose proofs are provided in Appendix D . Accordingly, a bo