[論文レビュー] Scalar curvature and properness on Sasaki manifolds

Weiyong He|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2018

Geometry and complex manifolds参考文献 41被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、再帰的定数スカラー曲率ササキ（cscs）計量の存在を示す。その計量が存在するための必要十分条件は、リーマンベクトル場および横断的複素構造を保存する自己同型群の単位成分による${\mathcal{K}}$-エネルギーの「削減された適切性」が成り立つことである。証明はケーラー幾何におけるChen-Chengの戦略を模倣し、スカラー曲率型方程式に対する事前推定とササキ多様体上の幾何的擬正則ポテンシャル論を組み合わせ、特に不規則な場合におけるササキ設定固有の課題に適切に対処する修正を加えている。

ABSTRACT

We study (transverse) scalar curvature type equation on compact Sasaki manifolds, in view of recent breakthrough of Chen-Cheng \cite{CC1, CC2, CC3} on existence of Kähler metrics with constant scalar curvature (csck) on compact Kähler manifolds. Following their strategy, we prove that given a Sasaki structure (with Reeb vector field and complex structure on its cone fixed ), there exists a Sasaki structure with transverse constant scalar curvature (cscs) if and only if the $\mathcal{K}$-energy is reduced proper modulo the identity component of the automorphism group which preserves both the Reeb vector field and transverse complex structure. Technically, the proof mainly consists of two parts. The first part is a priori estimates for scalar curvature type equations which are parallel to Chen-Cheng's results in \cite{CC2, CC3} in Sasaki setting. The second part is geometric pluripotential theory on a compact Sasaki manifold, building up on profound results in geometric pluripotential theory on Kähler manifolds. There are notable, and indeed subtle differences in Sasaki setting (compared with Kähler setting) for both parts (PDE and pluripotential theory). The PDE part is an adaption of deep work of Chen-Cheng \cite{CC1, CC2, CC3} to Sasaki setting with necessary modifications. While the geometric pluripotential theory on a compact Sasaki manifold has new difficulties, compared with geometric pluripotential theory in Kähler setting which is very intricate. We shall present the details of geometric pluripotential on Sasaki manifolds in a separate paper \cite{HL} (joint work with Jun Li).

研究の動機と目的

• コンパクトなササキ多様体上における横断的定数スカラー曲率ササキ（cscs）計量の存在に関する必要十分条件を確立すること。
• 定数スカラー曲率ケーラー計量に対するChen-Chengの戦略をササキ設定に拡張し、特に${\mathcal{K}}$-エネルギーの適切性の役割を明らかにすること。
• ケーラー幾何における結果を模倣し、ササキ文脈におけるスカラー曲率型方程式に対する事前推定を確立・適応すること。
• コンパクトなササキ多様体上に基礎的な幾何的擬正則ポテンシャル論を確立し、ケーラーの場合にない新たな困難に取り組むこと。
• リーマンベクトル場および横断的複素構造を保存する自己同型群に関して、${\mathcal{K}}$-エネルギーの「削減された適切性」の正確な定義を明確にすること。

提案手法

• Chenの連続的経路法をササキ設定に適応し、方程式$t(R^{T}_{\phi}-\underline{R}) = (1-t)(\text{tr}_{\omega_{\phi}}\omega^{T}-n)$を用いて横断的ケーラー計量とcscs解を接続する。
• ササキ多様体上でのスカラー曲率型方程式に対して、$C^0$、$C^1$、$C^2$の事前推定を確立し、ケーラーの場合のChen-Chengの結果と類似させる。
• 横断的ケーラー潜在関数の空間$\mathcal{H}$上に幾何的擬正則ポテンシャル論を適用し、$d_1$-Finsler距離を用いて${\mathcal{K}}$-エネルギーの適切性をテストする。
• ${\mathcal{K}}$-エネルギーが$\mathcal{E}_1$内の有限エネルギー測地線に沿って凸であることを利用して、適切性が成り立たない場合の背理法的議論を展開する。
• $\mathcal{E}_1$における$d_1$-位相のコンパクト性と${\mathcal{K}}$-エネルギーの下方連続性に依拠し、極限計量を抽出する。
• 特に不規則なリーマンフォリエーションの場合に注意を払いながら、DarvasのノートおよびChen-Chengの研究から得られるケーラー幾何の技法をササキ設定に修正して適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 固定されたリーマンベクトル場および横断的複素構造を持つコンパクトなササキ多様体が、横断的定数スカラー曲率計量をもつための条件は何か？
• RQ2 ${\mathcal{K}}$-エネルギーの適切性が、$\xi$および$J$を保存する自己同型に関してどのように定式化され、検証可能か？
• RQ3 ササキ多様体上での横断的スカラー曲率型方程式の解の存在に関する必要十分条件は何か？
• RQ4 特に事前推定と測地線の凸性といった解析的道具が、ケーラー幾何からササキ幾何へどのように適応されるか？
• RQ5 ケーラーからササキ多様体への擬正則ポテンシャル論を拡張するにあたり、特に不規則な場合にどのような新たな技術的困難が生じるか？

主な発見

• 横断的定数スカラー曲率ササキ計量の存在は、$\text{Aut}_0(\xi,J)$に関する${\mathcal{K}}$-エネルギーの「削減された適切性」と同値である。
• cscs計量が存在するならば、${\mathcal{K}}$-エネルギーは$\mathcal{H}$上で$d_{1,G}$-適切である。つまり、正の定数$C,D>0$が存在して、$\mathcal{K}(\phi) \geq C d_{1,G}(0,\phi) - D$が成り立つ。
• 証明は、${\mathcal{K}}$-エネルギーが有限エネルギー測地線に沿って凸であることと、$\mathcal{E}_1$における$d_1$-位相のコンパクト性に依拠している。
• Chenの連続的経路法は本質的であり、ササキ設定にうまく適応され、横断的ケーラー計量からcscs解へのホモトピーを介した解の構成を可能にした。
• $C^0$、$C^1$、$C^2$のスカラー曲率型方程式に対する事前推定が、ササキ文脈で確立され、ケーラー幾何におけるChen-Chengの結果がこの文脈に拡張された。
• 本稿では、不規則なリーマンフォリエーションが擬正則ポテンシャル論に顕著な新たな困難をもたらすことを特定し、その困難は後続の研究[40]（Jun Liと共著）で解決されている。