[論文レビュー] Semi-infinite cohomology and the linkage principle for $W$-algebras

Gurbir Dhillon|arXiv (Cornell University)|May 16, 2019

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 51被引用数 4

ひとこと要約

本論文は、単純なリー代数および主ノンポテンシャル元に関連する $χ$-代数に対して、半無限コホモロジー理論を確立し、レベル $\kappa + \kappa_c$ および $-\kappa + \kappa_c$ の $χ$-加群のカテゴリの間に双対性を証明した。これにより、$χ$-代数におけるFeigin–Fuchs双対性予想が検証され、連結性原理を用いてベルマ加群間のすべての準同型が特定された。

ABSTRACT

Let $\mathfrak{g}$ be a simple Lie algebra, and let $W_κ$ be the affine ${W}$-algebra associated to a principal nilpotent element of $\mathfrak{g}$ and level $κ$. We explain a duality between the categories of smooth ${W}$ modules at levels $κ+ κ_c$ and $-κ+ κ_c$, where $κ_c$ is the critical level. Their pairing amounts to a construction of semi-infinite cohomology for the ${W}$-algebra. As an application, we determine all homomorphisms between the Verma modules for ${W}$, verifying a conjecture from the conformal field theory literature of de Vos--van Driel. Along the way, we determine the linkage principle for Category $\mathscr{O}$ of the ${W}$-algebra.

研究の動機と目的

• $\mathscr{W}$-代数の一般理論としての半無限コホモロジー理論を構築すること。これは、コンformal field theory や $\mathscr{W}$-重力理論において重要であるが、長らく未解決のままであった。
• $\mathscr{W}$-代数におけるFeigin–Fuchs双対性予想を検証すること。これは、Virasoro代数に既知の双対性を、高ランクのリー代数へと拡張することを目的とする。
• $\mathscr{W}$-代数のベルマ加群間の準同型の完全な構造を特定すること。これは、表現論における長年の未解決問題を解決することを目的とする。
• Category $\mathscr{O}$ の $\mathscr{W}$-代数における連結性原理を確立すること。これにより、ブロックの分類および最高重量加群の分類が可能となる。

提案手法

• 最近のローカル量子幾何的Langlandsプログラムの進展を活用し、$\mathscr{W}$-代数の半無限コホモロジーを定義した。
• コホモロジー関手によって誘導される、レベル $\kappa + \kappa_c$ および $-\kappa + \kappa_c$ の滑らかな $\mathscr{W}$-加群のカテゴリ間の双対性ペアリングを用いた。
• 導来カテゴリーフレームワークを用いて、$\operatorname{Verma}_{\kappa}^{op}$ と $\operatorname{Verma}_{-\kappa + 2\kappa_c}$ の間に自然なdg同倣を関係づけた。
• ベルマ加群がコンパクト対象となるように、$\mathscr{W}_{\kappa}\text{-mod}$ の再正規化された導来カテゴリを導入した。これにより、ホモロジー的計算が可能となった。
• 有限ワイル群 $W_{\operatorname{f}}$ およびパラボリック部分群を用いて、ブロックをパrameter化し、二重コセットを用いてベルマ加群を分類した。
• 二重コセット $W_{\operatorname{f},\lambda} \backslash W_{\lambda} / W^{\circ}_{\lambda}$ 上のブルア位相を用いて、ベルマ加群間の非自明な準同型を特徴づけた。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $\mathscr{W}$-代数に対して、Virasoroの場合を除き、半無限コホモロジー理論は存在するか？
• RQ2 補完的中心的荷重におけるベルマ加群のFeigin–Fuchs双対性は、$\mathscr{W}$-代数へ一般化可能か？
• RQ3 $\mathscr{W}$-代数のベルマ加群間の準同型の完全な構造は何か？
• RQ4 Category $\mathscr{O}$ の $\mathscr{W}$-代数における連結性原理は何か？

主な発見

• 自然なdgカテゴリの同値 $\operatorname{Verma}_{\kappa}^{op} \simeq \operatorname{Verma}_{-\kappa + 2\kappa_c}$ が確立され、$\mathscr{W}$-代数における一般化されたFeigin–Fuchs双対性が得られた。
• ベルマ加群間の準同型空間 $\operatorname{Hom}(M_v, M_w)$ は高々一様次元であり、$v \geqslant w$ がブルア位相で成り立つときかつそのときに限り非自明である。
• $\mathscr{W}_{\kappa}$-代数における連結性原理が確立され、ブロックは二重コセット $W_{\operatorname{f},\lambda} \backslash W_{\lambda} / W^{\circ}_{\lambda}$ でパラメータ付けられた。
• コベルマ加群 $A_v$ に対して、$\operatorname{Hom}(A_v, A_w)$ が非自明であるのは、正のレベルでは $v \leqslant w$ かつ負のレベルでは $v \geqslant w$ のときである。
• Category $\mathscr{O}$ 上の双対性 $\mathbf{D}$ により、ベルマ加群とコベルマ加群の間の双対性が得られ、コベルマ加群の準同型構造が確認された。
• 本研究により、$\mathscr{W}$-代数における半無限コホモロジー理論の存在が確認され、コンformal field theory における長年の予想が解決された。