[論文レビュー] W-algebras and Whittaker categories

Sam Raskin|arXiv (Cornell University)|Nov 15, 2016

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 24被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、ループ群およびアフィン・グラスマンジャン上のDモジュールを用いた導来的幾何的枠組みを導入することで、W代数に対するSkryabinの定理のアフィン版を確立する。『若年期Whittaker』法を用いてWhittakerモデルのコンパクト近似を構成し、Rodierの近似を一般化するとともに、BeraldoのWhittaker不変量および余不変量に関する定理を任意の再帰的群へ拡張する。これにより、整数レベルにおける局所的幾何的Langlandsプログラムへの応用が得られる。

ABSTRACT

Affine W-algebras are a somewhat complicated family of (topological) associative algebras associated with a semisimple Lie algebra, quantizing functions on the algebraic loop space of Kostant's slice. They have attracted a great deal of attention in geometric representation theory because of Feigin-Frenkel's duality theorem for them, which identifies W-algebras for a Lie algebra and its Langlands dual through a subtle construction. The main result of this paper is an affine version of Skryabin's theorem, describing the category of modules over the W-algebra in simpler categorical terms. But unlike the classical story, it is essential to work with derived categories in the affine setting. One novel feature is the use of geometric techniques to study W-algebras: the theory of D-modules on the loop group and the geometry of the affine Grassmannian are indispensable tools. These are used to give an infinite family of affine analogues of the Bezrukavnikov-Braverman-Mirkovic theorem, providing a geometric version of Rodier's compact approximation to the Whittaker model from the arithmetic setting. We also use these methods to generalize Beraldo's theorem identifying Whittaker invariants and Whittaker coinvariants, extending his result from GL_n to a general reductive group. At integral level, these methods seem to have deep intrinsic meaning in the local geometric Langlands program. The theory developed here provides systematic proofs of many classical results in the subject. In particular, we clarify the exactness properties of the quantum Drinfeld-Sokolov functor.

研究の動機と目的

• 導来カテゴリおよび幾何的メソッドを用いて、有限W代数からアフィンW代数へのSkryabinの定理の拡張を達成すること。
• アフィンKac-Moody代数の文脈において、Rodierの算術的構成に類似した幾何的コンパクト近似をWhittakerモデルに開発すること。
• Beraldoの定理（Whittaker不変量と余不変量の同型）を任意の再帰的群へ一般化すること。
• アフィン設定における量子Drinfeld-Sokolov関手の正確性の性質を明確にすること。
• 整数レベルにおける局所的幾何的Langlandsプログラムの結果に対する体系的な幾何的基礎を提供すること。

提案手法

• 中心的道具として、ループ群およびアフィン・グラスマンジャン上のDモジュールの導来カテゴリを用いる。
• N(K)および\widehat{G}(K)における$D$-モジュールのねじれ不変性理論を適用し、Whittakerカテゴリーを構成する。
• Whittakerモデルのコンパクト近似のための新しい方法として『若年期Whittaker』構成を導入する。
• D_{\kappa}(G(K))-モジュールにおける畳み込みおよびカーネル関手を用いて、Whittaker関手をD_{\kappa}(G(K))^{(N(K),\psi), (\accentset{\circ}{I}_n, -\psi)}内にカーネルを用いた畳み込みとして実現する。
• クリーン拡張性質およびG(O)^n-不変性を用いて、包含関手\iota_{n,!}の完全忠実性を検証する。
• Kac-Moodyコycleおよび\operatorname{Gr}_N \subseteq \operatorname{Gr}_G上でのトーラスの自明性を用いて、幾何的構成の整合性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 導来的幾何的設定において、Skryabinの定理を有限からアフィンW代数へどのように一般化できるか？
• RQ2 アフィンKac-Moody設定におけるRodierのWhittakerモデルへのコンパクト近似の幾何的双対は何か？
• RQ3 任意の再帰的群の文脈において、Whittaker不変量と余不変量はどのように関係するか。Beraldoの結果を一般化して？
• RQ4 導来カテゴリおよびDモジュールは、アフィンW代数およびそのモジュールカテゴリの構造において果たす役割は何か？
• RQ5 これらの構成は、整数レベルにおける局所的幾何的Langlandsプログラムにどのように寄与するか？

主な発見

• 本稿は、アフィンW代数上のモジュールのカテゴリを、ループ群上のDモジュールの導来カテゴリのフル部分カテゴリとして実現する、Skryabinの定理のアフィン版を構成する。
• 『若年期Whittaker』構成は、Whittakerモデルのコンパクト近似のための新しい幾何的方法を提供し、Rodierの算術的結果を幾何的設定へ拡張する。
• Whittaker関手は完全忠実であり、D_{\kappa}(G(K))^{(N(K),\psi), (\accentset{\circ}{I}_n, -\psi)}内にカーネルを用いた畳み込みとして実現され、Whittakerカテゴリーの幾何的実現が確立される。
• 理論はBeraldoの定理を一般化し、GL_nに限らない任意の再帰的群に対して、Whittaker不変量と余不変量が同型であることを示す。
• 導来フレームワークを通じて、量子Drinfeld-Sokolov関手の正確性の性質が明確化され、W代数の表現論における長年の疑問が解決される。
• これらの構成は、特に整数レベルにおいて、局所的幾何的Langlandsプログラムにおいて深いつながりを持つことが示され、古典的結果の体系的証明を提供する。